第十讲-子数列与聚点原理

之前介绍的都是数列的充分条件，本讲为了讲解极限求取充要条件（拉链定理），介绍了子数列定义和原数列收敛关系。并介绍了聚点原理（任何有界数列都存在收敛的字数列），并介绍了柯西不等式的数列表达

 

子数列的概念

 

子数列定义

 

 

 

 

注意: 除了新数列中的项是从原数列中提取出来的以外, 一定要保证数列中间项的前后位置关系和原数列中间项的前后位置关系相同.

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数列收敛的归并性

 

 

 

 

 

 

判断数列发散的方法

 

• 数列存在一个发散的子数列, 则该数列一定发散.

• 数列存在极限不等的子数列, 则该数列一定发散.

 

例 1. 证明数列  不存在极限

 

 

 

 

拉链定理

 

如果我们把所有的整数看成是一条完整的拉链的话, 那么下标偶数和奇数这两个部分就相当于拉链的两边, 所以我们形象的把它成为拉链定理.

 

 

 

 

结论: 只要下标为奇数和偶数这样的两个子数列它是收敛且收敛到相同极限的话, 原数列一定是收敛的.

 

 

 

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聚点原理

 

 

 

 

 

 

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柯西收敛原理

 

柯西收敛数列(基本数列)定义

 

 

 

 

 

柯西收敛原理等价形式

 

数列 收敛的充要条件是: 对于任意正整数 ε, 存在正整数 , 当 n>N 是，有

|a_n-a_n+p|<ε,

 

对于一切 p=1,2,⋯ 成立.

 

例 2. 设 , 证明数列 收敛.

 

 

 

 

例 3. 设 , 证明数列 发散.

 

证明:

 

,

很明显，与柯西收敛原理相悖，所以 是发散的.