第五讲-初等函数

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函数是微积分研究的一个基本对象。本讲介绍了基本初始函数（幂、指、对、三、反）并由此定义了初等函数、超越函数。

并通过悬链线引出了双曲函数及其来历，并介绍了其和圆上三角函数之间存在的共性，涉及扇形面积求取，会是积分的很好切入点。

为什么要说这些呢，我认为不仅是对初等知识的回顾，更是要工欲善其事,必先利其器，这些是在微积分成型之前的很多前人研究。虽然现在看起来很完备，定理很完全，但当时并不是，大家只是知道这些成果能很好的帮助缩短微积分的计算。

就好比是工具，类似于向量空间中必须得有加法单位元，这些是人为定义的，定义或许可以有不同，但是但是有些基础定义是必须的，这是一套理论的基石，只要能保证定义的合理与正确，就不必要重复性进行”1+1=2“的证明。

 

基本初等函数

 

1. 幂函数: y = x^μ (μ ∈ R 为常数)

 

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　偶次幂偶函数                                                                                 奇次数奇函数

 

• 整幂函数和根式函数互为反函

 

 

              整个定义域中没有反函数，因为不是一一映射，                                                          是一一映射

　　　　　　可以分开考虑（x>0,x<0）

 

• 双曲线函数与 "广义双曲线函数" （幂次小于0）

 

 

 

 

2. 指数函数: y = a^x (a 为满足 a > 0 且 a ≠ 1 的常数)

 

• 常用: 以 e 为底的指数函数 y = e^x 最为常用

 

 

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　增函数                                                                                             减函数

3. 对数函数: y = log_ax (a 为满足 a > 0 且 a ≠ 1 的常数)

 

• 常用: 以 e 为底的自然对数函数 y = log_ex 最为常用，自然对数函数简记为 y = ln x

 

 

 

 

指数与对数运算法则

 

 

 　　

 

4. 三角函数: 正弦、余弦、正切、余切、正割和余割

 

 

 

 

• 欧拉把牛顿与莱布尼茨所创立的微积分理论进行整理，让微积分理论系统化，这里包括对原来比较零散的一些结果进行系统的整理，原来晦涩难懂的证明，换了一种更为通俗易懂的形式。有人说，欧拉的「无穷小分析引论」可以与欧几里得的「几何原本」媲美

• 实际上，我们今天所学的微积分的内容或者说微积分所确定的研究领域，基本上就是欧拉的「无穷小分析引论」所确立的大的研究方向，甚至我们现在沿用的很多数学符号都是当年欧拉在「无穷小分析引论」这本书中所引用的，比如说纳皮尔常数

   

   反函数存在则必须一一映射，因此在周期函数数整个区间上讨论反函数没有意义，因此依次取半个周期就可以来讨论反函数

 

5. 反三角函数: 包括反正弦函数，反正切函数，等等.

 

 

 

 

三角函数与反三角函数的复合

 

 

 

 

 

 

 

化简 tan(arcsin x)，其中 x ∈ (-1, 1).

 

• 方法一用纯代数方法，利用三角函数相关性质替换得到结果

• 方法二则是用几何方法，设直角三角形斜边为 1，一角的为 y，角所对应的边为 x，理所当然的得到了第三条边的值，最后利用正切函数定义得到结

 

 

 

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常见初等函数

 

定义 1

 

由基本初始函数（幂、指、对、三、反）与常值函数经过有限次四则运算或复合运算得到的一个统一的解析式子表示的函数称为初等函数.

 

• 多项式函数: P(x ) = a₀xⁿ + a₁x^{n - 1} + … + a_{n - 1}x + a_n (x ∈ R)

• 有理函数: 类似于有理数的定义，有理数是由两个整数相除的结果，而有理函数则是由两个多项式相除的结果

 

定义 2

 

通过多项式进行代数运算(四则运算与开方运算)所得到的函数称为代数函数，非代数函数的函数称为超越函数.

 

• 超越函数包含三角函数与反三角函数、指数函数与对数函数等.

 

定义 3

 

 

 

 

双曲正弦函数与双曲余弦函数

 

 

 

 

 

双曲正切函数与双曲余切函数

 

 

 

 

为什么叫双曲函数?

 

如果把 x 记作是 t 的双曲余弦的值，把 y 记作 t 的双曲正弦的值的话，得到的 x² - y² 等于 1，这正好就是双曲线的方程，如下图所右例所示

 

 

 

 

 

定义 4