第四讲-函数的概念与性质

函数的引入重要前提是有个对变量的定义。其就是一个映射，只不过两个集合有要求，是实数集及其子集，函数的产生是伴随着微积分的产生，起于对变化和运动的数学的描述的追求。

需要注意的是函数相等的判定。

并介绍了几个常见的函数例子，并定义了函数之间的四则运算和复合运算：本质是将函数的运算转换成函数值的运算。并定义了函数的有界性。

此外介绍了函数的几个性质有界性（有上界或下界不一定有界）、单调性（（严格）单调增、减少）、奇偶性、周期性

函数的概念

变量

笛卡尔首先用字母来表示变动的数——变量

常量和变量是相对的，两者在一定条件下可以相互转换

常量通常用 a、b、c 表示，变量通常用 x、y、t 表示

定义 1. 函数的定义

设 D 是实数集 R 中的非空子集，称映射 f: D → R 为定义在 D 上的一元函数.

通常记作: y = f(x)， x ∈ D.

x 为自变量

y 为因变量

D 为定义域

R_f = { f(x) | x ∈ D} —— 值域

G_f = {(x, f(x)) | x ∈ D} —— 函数图形(或图像)

函数是变化和运动的普通语言——莱布尼兹

正是因为函数的产生，所以才使得数学从不变和静止的数学到了变化和运动的数学，函数概念的出现，实际是数学从常量时代走向变量时代的一个非常重要的标志

注意⚠️

函数 y = f(x), x ∈ D 由其定义域 D 与对于法则 f 唯一确定，与其自变量、因变量以及函数的名称无关.

两个函数相等是指它们的定义域与对应法则都相同，自然它们的值域也相同.

函数定义域的确定

函数的例子

函数的表示方法

描述法 —— 通过语言描述

表格法 —— 通过数值表格表示

图形法 —— 通过图形表示

公式法 —— 通过精确公式表示

常值函数和绝对值函数

符号函数（分段函数）

我们可以把有些表达式通过函数符号的运算来表示，以绝对值函数与符号函数为例，比如 |x| = x * sgn x.

取整函数 [x] = Floor[x]

假设 n ≤ x ≤ n + 1，则 [x] = n（其中 n ∈ Z).

取整函数的简单性质

[x] ≤ x < [x] + 1;

[x + 1] = [x] + 1

狄利克雷（函数概念创始人）函数

函数的运算

定义 2. 函数的四则运算

设有 f(x) (x ∈ A) 和 g(x) (x ∈ B)，且 A⋂B ≠ ∅，则定义函数的加法 f + g、乘法 f ∙ g 与除法 f / g，如下:

(f + g) (x) = f(x) + g(x), x ∈ A ⋂ B
(f ∙ g) (x) = f(x) ∙ g(x), x ∈ A ⋂ B
(f / g) (x) = f(x) / g(x), x ∈ A ⋂ B, g(x) ≠ 0

但函数只是一个对应法则，就法则本身是不能做运算的，那么如何来定义两个函数做四则运算?

这里实际上是将函数的运算转换成函数值的运算，最后来定义的

注意，函数的定义域不能以运算后的形式来定义

定义 3 函数的复合运算

简单的讲，复合运算就是一种带入运算，把一个函数带入到另外一个函数的自变量中间，得到的这样的一个结果，就称为函数的复合或者复和函数

设有两函数 f: A → B₁ 与 g: B → C，且满足 B₁ ⊂ B，函数 h: A → C 定义为: 对任意 x ∈ A，有 h(x) = g(f (x)).

称 h 为 f 与 g 的复合函数，记作: h = g ∘ f.

定义 4. 函数的求逆运算

设函数 f : → B 作为映射是双射，那么对任何 B 中的 y 存在且唯一存在一个 A 中的 x 使得 f(x) = y. 称这个对应法则给出的从 B 到 A 到函数为 f 到反函数，记为 f^-1: B → A.

函数 y = f(x) 与 x = f^-1(y) 互为反函数.

习惯上，将函数 y = f(x)的反函数记作 y = f^-1(x)

性质: 设 f^-1: B → A 为 f: B → A的反函数，则

(f^-1 ∘ f) (x) = x，∀ x ∈ A

(f^-1 ∘ f) (y) = y，∀ y ∈ B

即，函数和反函数复合，就是把定义域中间的点变成定义域中间相同的点或者是把值域中间的点变成值域中间相同的点

反函数的几何意义

所谓对称，就是对于函数 y = f(x) 它图像上任何一点 (a, b)，通过 y = x 这条直线对称，得到 (b, a) 这一点，那么 (b, a) 这一点，一定是落在它所对应的反函数的图形上，也就是一定落在绿色的这条曲线上.

函数的简单特性

定义 5. 有界性

设函数 f(x) 的定义域为 D，数集 I ⊂ D.

如果存在 M，使得对于任意的 x ∈ I，有 f(x) ≤ M，则称函数 f(x) 在 I 上有上界.

如果存在 m，使得对于任意的 x ∈ I，有 f(x) ≥ m，则称函数 f(x) 在 I 上有下界.

狄利克雷

如果存在 M > 0，使得对于任意的 x ∈ I，有 | f(x) | ≤ M，则称函数 f(x) 在 I 上有界.

🌟函数有界的证明

当一点( y = M)无论取多大，总可以找到一点(X_M)，使得它所对应图形上点是不夹在两条平行线之间的，这就是无界的一种
描述

有界

定义 6. 单调性

设函数 f(x ) 在区间 I ⊂ R 上有定义，若对 I 中任意两点 x₁，x₂，当 x₁ < x₂ 时，恒有

f(x₁) ≤ f(x₂) （ f(x₁) < f(x₂) ）

f(x₁) ≥ f(x₂) （ f(x₁) > f(x₂) ）
则称 f(x ) 在区间 I 上单调增加 (严格单调增加)，单调减少(严格单调减少).

单调增加或单调减少对函数统称为单调函数.狄利克雷

性质：严格单调增加(减少)对函数一定存在反函数，且其反函数也是严格单调增加(减少). 对于一个严格单调增加(减少)的函数作为映射一定是双射，而双射一定是存在反函数的.

定义 7. 奇偶性