第三讲-集合与映射

　　本讲主要讲述了集合（高等代数研究的集合基本为数集，即元素为数）的基本概念和运算法则及其性质，

新的知识是知道了直积或者说笛卡尔积的概念，有点类似于线性代数中两个向量空间直和的概念，

两个单纯的集合张成了一片空间，有点线到面的意思，一个升纬的操作。

　　此外定义了集合的上下确界概念，并引入了连续性公理：实数与数轴上的点是一一对应的。因此实数集和数轴是等价的，

这样实数系的逻辑完备性保证了几何推理的逻辑完备性。定义了区间（有限和无限、开闭）与邻域（去心、左右 开区间）

　　介绍了集合间的映射概念、包括单射、满射、一一映射（单+满），方便引申到函数上，还介绍了两个集合等势的概念：

存在一个一一映射φ : A → B ，则称集 A 与 B 是等势的.=》结论: 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等.。

由此得到有理数集 Q 与自然数集 N 是元素”一样多“这个违背直觉的结论。

集合的概念与运算

 

1. 集合的定义

 

将具有某种特定性质的对象的全体成为集合. 组成集合的对象成为元素.

 

集合的表示法

 

• 枚举法： A = {a, b, c, d, e}

• 描述法:  A = {x | x 所具有的特征}

 

集合的关系

 

• 子集： A 属于 B

• 相等： A 等于 B

• 空集： 空集

 

数集的表示

 

数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念

 

• 自然数 N = { x | x = 1, 2, ...}

• 整数 Z = { x | x = 0, ±1, ±2, ...}

• 有理数 Q = { p/q | p, q 属于 Z, q ≠ 0}

• 实数 R 一条数轴上任意一点所代表的数

• 复数 C

• 复平面 实数集是表示数轴上点的集合，复平面则是表示平面上点的集合

 

2. 集合的运算

 

直积或者说笛卡尔积

 

3. 集合的运算性质

 

 

证明两个集合相等，通常是通过证明包含关系证明，也就是证明 A 和 B 相等，如果证明 A 包含在 B 中间，同时 B 也包含在 A 中间，那么这样两个集合就是相等的.

4. 直积

 

 

直积或者说笛卡尔积，满足条件的两个集合中，A 中任何一个元素 x 和 B 中任何一个元素 y 所构成的元素对，在平面上它正好表示的是点，那么这些点的集合正好表示的是矩形所规范区域

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确界与连续性公理

 

1. 实数的性质

 

1. 有序性

2. 连续性或完备性

 

2. 数集的上界与上确界

 

上界

 

设 E 是一个非空实数集，M 是一个实常数，如果对于 E 中的任何元素 x，均有 x ≤ M，则称为 M 为数集 E 的一个上界，并称 E 有上界.

 

如果一个实数集 E 有上界，称 E 的最小上界为上确界，记为 sup E（supremum 的缩写）.

 

• 连续性公理：一个非空有上界的实数集必有上确界.

 

即，如果一个集合它有上界的话，那么这些上界中间一定存在有最小的上界.

 

下界

 

设 E 是一个非空实数集，M 是一个实常数，如果对于 E 中的任何元素 x，均有 x ≥ M，则称为 M 为数集 E 的一个上界，并称 E 有下界.

 

如果一个实数集 E 有下界，称 E 的最大下界为下确界，记为 inf E（infimum 的缩写）.

 

• 连续性公理：一个非空有下界的实数集必有下确界.

 

即，如果一个集合它有下界的话，那么这些下界中间一定存在有最大的下界.

 

3. 连续性公理用处

 

在微积分理论中，极限理论是微积分的一个基础，而连续性公理，则是极限理论的基石，也就是我们在讨论极限理论的时候，是以所谓的连续性公理为基础的.

 

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区间与邻域

 

1. 区间

 

有限区间

 

• 开区间 (a, b) = {x | a < x < b}

• 闭区间 [a, b]  = {x | a ≤ x ≤ b}

• 半开闭区间 [a, b) = {x | a ≤ x < b} 和 (a, b] = {x | a < x ≤ b}

 

无限区间

 

• 无限开区间 (-∞, a) = {x | x < a} 和 (a, +∞) = {x | x > a}

• 无限闭区间 (-∞, a] = {x | x ≤ a} 和 [a, +∞) = {x | x ≥ a}

• 全体实数的集合 R = (-∞, +∞)

 

2. 邻域

 

• 邻域：以点 a 为中心的任何开区间，计作: U(a)

• ∆ 邻域: U (a, ∆) = (a - ∆, a + ∆) = {x | |x - a| < ∆}

• 去心邻域: U₀(a, ∆) = {x | 0 < |x - a| < ∆}

• 左邻域: (a - ∆, a)

• 右邻域: (a, a + ∆)

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映射

 

定义 1

 

设 A，B 是两个非空集合，若对 A 中的任一元素 x，依照某种规律 (或法则) f，恒有 B 中的唯一确定对元素 y 与之对应，则称对于规律 f 为一个从 A 到 B的映射.

 

记作 f : A  → B，有时记 f： x ↦ y.

 

称 y 为 x 的像，记作 y = f(x)，并称 x 为 y 的原像.集合 A 称为映射 f 的定义域，集合 B 称为 f 的像集.

 

集合 R_f =  { f (x) | x ∈ A } 称为映射 f 的值域.

 

定义 2

 

设 f: A → B是映射.

 

若对于任意的 x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂，则称 f 为单射. 换句话说，不同的点对应有不同的像，那么这样的映射就是单射.

 

若 R_f = B（f 的值域），则称 f 为满射.

 

若 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射，又叫双射.

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集合的比较

 

定义 3

 

设 A, B 是两个集合，若存在一个一一映射φ : A → B ，则称集 A 与 B 是等势的.

 

• 结论: 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等

   

  

   

有理数集 Q 与自然数集 N 是等势的

 

• 所有的有理数与自然数是“一样多”的.

 

无理数 R 与有理数 Q 是不等势的，和自然数 N 也是

 

• 虽然有理数和无理数都是稠密的分布在整个实轴上的，但无理数要比有理数要多.