浅涉算法竞赛中的初等数论

1、欧几里得算法

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
应用：求最大公约数。
证明：设b = qa + r
假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
所以(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

2、扩展欧几里得

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a、b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x、y ，使得$ax + by = gcd(a,b)$
证明：
设 a>b。
1、显然当 $b=0，gcd（a，b）=a$，此时 $x=1，y=0$；
2、$ab=\not 0$ 时
　有 $ax_1+by_1=gcd(a,b)\\ 　 bx_2+(a \mod b)y_2=gcd(b,a\mod b)$　　
根据朴素的欧几里德原理有 $gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)$
则$ax_1+by_1=bx_2+(a \mod b)y_2$
$\begin{aligned}ax_1+by_1&=bx_2+(a-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor*b)y_2\\&=ay_2+bx_2-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor*by_2\end{aligned}$
$\Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=y_2 \\ y_1=x_2-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor*y_2 \end{aligned} \right.$

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
应用：

• 求解不定方程；
• 求解模线性方程（线性同余方程）；
• 求解模的逆元.

poj1061 青蛙的约会（不定方程+逆元）

3、欧拉筛

O(n)的算法，记录下每个素因子，向后标记。

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Euler_Prime(){
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) 
    {
        if (!visit[i]) prime[++prime[0]] = i;    //纪录素数，prime[0]用来计数
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) 
        {
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

4、乘法逆元

前言：
我们知道在模意义下的加减乘运算都是具有封闭性的，但除法确是例外。
乘法逆元就是一种在模意义下代替除法运算的东西

定义：
如果有ab≡1(modp)，则称b是mod p意义下a的乘法逆元。记b = inv(a) 或 b = a⁻¹
(定义了剩余系中的除法)

性质：
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n) = 1，此时逆元唯一存在。
$\dfrac{a}{b}\mod p = ( (a \mod p) * (b \mod p) ) \mod p$
求法：

• 扩展欧几里得
  ax≡1(mod p)
  可以等价的转化为ax+py=1
  复杂度O(log n)
• 费马小定理
  由ap⁻¹≡1(mod p)
  得a×ap^-2≡1(mod p)
  所以当模数是一个质数的时候，可以用费马小定理求解，即inv(i)=i^p-2(mod p),复杂度O(log n)
• 欧拉定理
  适用于模数不是素数
• 递推
  

inv[i] = (p - p/i) * inv[p%i] % p;

5、欧拉函数

应用

• 既约真分数（poj 2478）

给出整数n，让你求解分母小于n的所有既约真分数的个数。

分析：首先我们要搞懂什么是既约真分数，简单来说，就是小于1的最简分数。那么我们很容易将其与欧拉函数联系起来，因为对于一个分母为n的既约真分数的个数，实际上就是phi(n)，那么这个问题本质上就是求解phi(2)+…+phi(n).

• 精简打表数据.(uva 10820)

输入两个整数x、y(均小于等于n)，输出某个函数值f(x,y)，一位选手想打表，但是如果全部打出来的话会造成内存超限，需要精简。

分析：通过“f(x,y)计算f(x,y)”这个题设条件，我们就能够将其联想到欧拉函数。最终表中存的二元组(x,y)只要互素，就能够保证表中不存在任何“赘余(即可由表中的另外某组数据计算得来)”数据.
假设x>y,那么我们枚举x=2、3、…、n,二元组的数量应该是phi(2)+…+phi(n)，由对称性，最终结果应该乘2，而且不要忘记了(1,1)这个特殊情况。

最终结果应该是2(phi(2)+…+phi(n)) + 1.