积性函数&欧拉函数&莫比乌斯函数

积性函数

• （积性函数）.
  如果算术函数$f$对任意两个互素的正整数a和b，$f(ab)=f(a)f(b)$，则$f$被称为积性函数（或乘性函数）；如果对任意两个正整数a和b，$f(ab)=f(a)f(b)$，则$f$被称为完全积性函数（或完全乘性函数）。

• $如果f是一个积性函数，n是一个正整数，且n有素幂因子分解\\n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}, 则f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})...f(p_m^{a_m}).$

欧拉函数

• （欧拉函数$\phi(n)$）
  设$n$是一个正整数。欧拉$\phi$函数$\phi(n)$是不超过$n$且与$n$互素的正整数的个数;
  如果$n$是素数，$\phi(n)=n-1$；如果n是合数，$\phi(n)<n-1$.

• （$\phi$函数公式）
  如果p是一个素数，且k是正整数，则$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$。
  如果m和n是互素的正整数，$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$。
  所以，$\phi(n)$是积性函数，但不是完全积性函数。

• （$\phi(n)$计算公式）
  如果$n$有素因子分解$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}$，那么有欧拉$\phi$函数$\phi(n) = n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_m})$

• （欧拉定理）
  如果$n$和$a$ 是互素的正整数，则$a^{\phi(n)}≡1 \mod n$.

• （a模n的阶）
  设a和n是互素的整数，a>=0，n>0。使得$a^x≡1\mod n$成立的最小正整数x被称为a模n的阶，并记为$ord_na$。

• （原根）
  设a和n是互素的整数，且n>0。如果$ord_na = \phi(n)$，则称a是模n的原根，并称n有一个原根。

  如果正整数n有一个原根，那么它有$\phi(\phi(n))$个不同余的原根。

• (模$n$的既约剩余系)
  模n的既约剩余系是由$\phi(n)$个整数构成的集合，集合中的每个元素均与$n$互素，且任何两个元素模$n$不同余。

  定理：如果集合$\{r_1, r_2, …, r_n\}$是一个模n的既约剩余系，并且$n$和$a$是互素的正整数，则集合$\{a*r_1,a*r_2, …,a*r_n\}$也是一个模$n$的既约剩余系。

• 计算$\sum gcd(i,N)$
  首先，在从1到N的每个数中，如果$gcd(i, N)=p,（1<p\leq N）$，则i/p和N/p互素，且满足$gcd(i, N)=p$的i的个数是$\phi(N/p)$，所以，相应的和为$p*\phi(N/p)$。所以，要计算$\sum gcd(i,N)$，只需要根据gcd的值不同，分类进行计算即可，$\sum gcd(i,N)=\sum_{p|N} p*\phi(N/p)$.

莫比乌斯函数

考虑非平方数的因子个数，$f$的和函数$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$.
由此可见，$f(n)$等于$\pm F(n/d)$之和。

• （莫比乌斯函数）
  $\mu(n)=\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{lr} 1 & n=1\\ (-1)^m &n=p_1p_2...p_m,其中p_i为不同的素数 \\0&其他 \end{array} \right. \end{aligned}$
• 定理：莫比乌斯函数$\mu(n)$是积性函数。、
• （莫比乌斯反演公式）
  设$f$是算术函数，$F$是$f$的和函数，$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$,则$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(n/d)$。