HDU6667 Roundgod and Milk Tea 二分图 Hall定理

给出$n$个班级，每个班级有$a$个人$b$杯奶茶，每个同学能且只能拿一杯奶茶，并且不能拿自己班的奶茶。求最多喝到奶茶的人数。
Source：2019 Multi-University Training Contest 8

比赛的时候由于数据太水，大多数人都用贪心过了，但是实际上这道题是一个二分图最大匹配的问题。
对于二分图$(U+V,E)$，左边顶点表示学生，右边节点表示奶茶，学生和别的班的奶茶之间有边。答案是二分图最大匹配的大小。
根据Hall’s marriage theorem：
$\vert M\vert =\vert U\vert - \max_{S\subset U}(\vert S\vert-\vert N(S)\vert) \\where\ N(S)\ denotes\ the\ neighborhood\ of\ S.$
对于取得$\max_{S\subset U}(\vert S\vert-\vert N(S)\vert)$的集合$S$,总共有三种情况：

• $S$为空集，$\vert M\vert =\vert U\vert$.
• 所有的student来自同一个班级，这样的话就减去这个班的所有人.
• student来自不同的班级，$\vert M\vert =\vert V\vert$.

//std
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
long long a[1 << 20], b[1 << 20];

int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld%lld", a + i, b + i);
        long long totu = accumulate(a, a + n, 0ll);
        long long totv = accumulate(b, b + n, 0ll);
        long long ans = min(totu, totv);
        for (int i = 0; i < n; i++) ans = min(ans, totu + totv - a[i] - b[i]);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}