2019杭电多校第六场

1003 Valentine’s Day

给$n$个物品，每个物品有一个被选中的概率。任意选$k$个物品，怎么选这$k$个物品才能使从这$k$个物品中选一个物品的的概率最大。

设从$k$个物品中选中一个的概率为$p_k$，那么$\begin{aligned} p_k &= a_1(1-a_2)...(1-a_k) + a_2(1-a_1)...(1-a_k)+...+a_k(1-a_1)(1-a_2)...\\ &=\frac{a_1}{1-a_1} (1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k)+\frac{a_2}{1-a_2} (1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k) + ... + \frac{a_k}{1-a_k} (1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k)\\ &=\prod_{i=1}^k{(1-a_i)}*\sum_{i=1}^k{(\frac{1}{1-a_i}-1)} \end{aligned}$
一开始的想法是做差$p_{k+1}-p_k$，看看能不能从$k\Rightarrow k+1$，但是后来发现做差的结果只能作为停止的条件，没法做决策，所以后程我换了一种推导：$\begin{aligned} p_{k+1} &=\prod_{i=1}^k{(1-a_i)}*\sum_{i=1}^{k+1}{(\frac{1}{1-a_i}-1)}\\ &=(p_k-\prod_{i=1}^k{(1-a_i)})*（1-a_{k+1}) +\prod_{i=1}^k{(1-a_i)} \end{aligned}$为了使加入$a_{k+1}$后$p_{k}$尽量大，当$a_{k+1}$前的系数大于零时，$a_{k+1}$就选择当前可选的最小的$a_i$；反之，选择最大的$a_i$。
排序预处理即可。
UPD:这题的数据比较弱，用一开始的伪算法也能ac，但是由于比赛的时候多组数据输出忘记换行了，导致一直wa…

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<cstdlib>
#include <iomanip>
#define eps 1e-6
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef std::pair<ll, ll> Pll;
const int N = 1e4+10;
using namespace std;

ll gcd(ll p, ll q) { return q == 0 ? p : gcd(q, p % q); }
double p[N];
int n;
inline void init() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&p[i]),p[i]=1-p[i];
    sort(p+1,p+n+1);
}

int main() {
//    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        init();
        double k,res=1-p[1],exp=p[1];
        double ans = res;
        int l=2,r=n;
        while(l<=r){
            k=res-exp;
            if(k>0) {
                res=k*p[r]+exp;
                exp*=p[r];
                r--;
            }
            else {
                res=k*p[l]+exp;
                exp*=p[l];
                l++;
            }
            ans=max(res,ans);
        }
        
        res=1-p[n];
        exp=p[n];
        l=1,r=n-1;
        while(l<=r){
            k=res-exp;
            if(k>0) {
                res=(res-exp)*p[r]+exp;
                exp*=p[r];
                r--;
            }
            else {
                res=(res-exp)*p[l]+exp;
                exp*=p[l];
                l++;
            }
            ans=max(res,ans);
        }

        printf("%.12lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

1009 Block Breaker

签到题，$n*m$的方格，$q$次询问，dfs即可。