可乐喵大战构造题

 

 

0CF1835C

Twin Clusters

⋆如果考场上遇到了这道题，应该怎么做？（大概率不可能是CNOI）

我的做法：观察到“区间不相交”是假的，那么问题就可以转化为:

找到任意两个区间（其中要求区间的左右端点不能重合），使得他们的区间xor和相同。

观察到本质不同的区间一共有 个，但是不同的数字最多只有 22k个，那么由极端原理可以知道，有差不多一半的区间都会有异或值相同的其它区间，那么我们随机一个区间，再进行 Ο(n)的扫描就能知道能不能找到答案，每次期望有一半概率成功，可以接受,最终轻松通过。

正经做法也简单，采用折半的方法，考虑加强条件，强制钦定选择的区间前 k 位的异或和为 0，那么因为我们一共有 2k+1+1个前缀和，前 k 位只有 2k 种，那么一定存在 至少 2k+1 个前缀和能找到和它相同的前缀和，这样的组一共有 2k+1 个之后，那么后 k 位的 2k 种情况中一定会有重复的，那么就做完了。

1CF1240F Football

⋆如果考场上遇到了这道题，应该怎么做？（这个还真的可能是CNOI）

我的做法：先给每条边随机规定一个颜色，然后不断调整不合法的点，具体表现为：

• 找到一个不合法的点i和它出边颜色的众数，把众数边 (i,j)⁡的颜色改为i出边颜色的最小值

• 如果被修改的边减小了 j 出边颜色的最小值，或者增加了 j 出边的最大值，我们递归重复上述过程，注意递归的时候规定不能改动当前已经访问过的点。

• 如果被修改的边没有减小 j 出边颜色的最小值，也没有增加 j 出边的最大值，那么递归成功。

• 否则递归失败，进行回溯。一直到递归成功为止。

• 不难发现这样找到的调整方法一定不会使得一个点的 max-min变大，而且一定会使得出发点的 max-min向变小的方向变化（众数有很多个不一定能一次改完）。

• 一次递归是 Θ(m)的，根据我们的做法一共至多递归 m 次，复杂度 Θ(m2)可以通过。

• 正确性似乎无法保证，因为我提交了很多次有一次WA了，但是不难发现出题人无法对该做法进行针对性构造，大胆写上去就能通过 Div1 的 F 获得巨大 rating delta（我又幻想了）

• 事实上，就算不随机，设定初始边全部为颜色 1 也能通过这道题，因为这个算法实在想不出卡掉的办法。

说回正题，可以先想这个 2 是怎么来的，可以发现 k=2 的情况下一个三角形就会出现 max-min=2 ，进一步的，任何一个奇环都会使得 max-min=2 的上界被顶满，但是偶环就不会。不难想到这和二分图相关。而 max-min=2 的来源是 1+1=2.

接下来这一步非常神奇（主要是我也不太能想到，不过Div1的F确实不太是给人想的），任何图都可以拆分成两个二分图，方法是给每条边定向，u→v(u<v) 改为 u→v+n，这样，如果 v 和 v+n 两个点都满足 max-min=1 那么叠加在一起就满足 max-min=2 了。

根据这个思想，我们继续拆分。假设现在一个点的度数是 ak+b，那么必然存在一个方法，使得我们把这个点拆成 a+1 个点，前 a 个点连出去的所有边颜色不同且度数为 k ，最后一个点连出去的边颜色不同。那么我们现在尝试对新图进行匹配。仍然采用调整法。现在随意从左部点连接一条符合要求的边，颜色记为 a 如果这条边导致某个右部点边的颜色重复，那就把重复的颜色换成没有重复的颜色 b，如果继续导致矛盾就继续递归，不难发现这样递归是一定不会产生环的（可能需要画图理解），那么就做完了，（非常神秘，不是很理解原理）

2CF1698F Equal Reversal

不是很难的题目，只是需要注意不少实现上的细节。

（这次没有乱搞了，只是正解）

？：我是怎么做出来这道题的？

先从特殊情况着手，两端的值是不可能移动的。

最重要的是再看倒数第二个和第二个，它一定是选择了某个 [1,x],[y,n] 这样才能被操作到最前面的。那么这样的 ax,ay⁡一定和a1,an相同。

进而不难发现，不管怎么操作，能被操作到第二个位置的元素一定旁边有一个 ax=a1。进而发现，交换过程中 {ax,ax+1} 构成的可重集保持不变。

猜想 1.

必要条件是充要的。

证明.

先考虑把一个 ax 换到 a2 的位置，一定能找到一个 ax 旁边紧贴着一个和 a1 相同的元素。

如果 紧贴在 ax 的右侧，那么一次操作就能达到目的。

如果紧贴在 ax 的左侧，如果右边还能找到一个和 a1 相同的元素，那么通过两次操作就能换过去

如果找不到，就还需要一步操作：在 ax 及其右边找到一个元素和 ax-1及其左边的元素相等，翻转一次区间后，ax 就会在左侧了。□

猜想 2.

一定能找到这样的可以翻转区间的方法。

证明.

反证法，如果找不到，那么 ax 后面的元素在 ax 之前从没出现过，那么 {ax,ax+1} 在最终序列中对应 {b2,b3} ，以此类推，{an-1,an}⁡对应 {bn-x+1,bn-x+2}，那么 {bn-x+2,bn-x+3} 就找不到对应了。故矛盾。□