（转）大白话解析优化算法

本文转自http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html   

以及     http://blog.163.com/qianshch@126/blog/static/4897252220101048524568/   

感谢分享！

 

优化算法入门系列文章目录（更新中）：

　　1. 模拟退火算法

　　2. 遗传算法

 

 一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

         介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

         爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

图1

 

 

算法起源

　　模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。

 

二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想

         爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

算法思想：

　　用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

退火过程

　　冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法的模型   模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 
　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L 
　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： 
　(3) 产生新解S′ 
　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 
　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. 
　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 终止条件常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 
　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。 （降温）

模拟退火算法新解的产生和接受： 
　（1）由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解：为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 
　（2）计算与新解所对应的目标函数差：因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。

　（3）判断新解是否被接受：判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 
　（4）当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

 

三. 模拟退火算法伪代码

 

算法描述：

          若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动

        若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

　　　这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

　　   根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

　　　　P(dE) = exp( dE/(k*T) )

　　  其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

　　  随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

　　  我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

　    关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

　 　爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

　　模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。 

下面给出模拟退火的伪代码表示。

 

/*
 *  J(y)：在状态y时的评价函数值
 *  Y(i)：表示当前状态
 *  Y(i+1)：表示新的状态
 *  r： 用于控制降温的快慢
 *  T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
 *  T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;  

　　if ( dE >=0 )  //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
        Y(i+1) = Y(i) ;  //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　else
　　{
    // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
            Y(i+1) = Y(i) ;  //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　}
　　T = r * T ;  //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快
　　/*
　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值
　　*/
　　i ++ ;
}

四. 模拟退火算法应用——使用模拟退火算法解决旅行商问题

解法一（源自第一个链接）：

　　旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。

　　旅行商问题属于所谓的NP完全问题（Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题），精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。

　　使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )；

2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温；

3. 重复步骤1，2直到满足退出条件；

　　产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

 

解法二（源自第二个链接）

 

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。 
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下： 
　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n) 
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

 

　　我们要求此代价函数的最小值。 
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 
　　变为： 
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn). 
　　如果是k>m，则将 
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 
　　变为： 
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk). 
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 
　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。 
　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：

 

根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序： 
Procedure TSPSA: 
　begin 
　　init-of-T; { T为初始温度} 
　　S={1，……，n}; {S为初始值} 
　　termination=false; 
　　while termination=false 
　　　begin 
　　　　for i=1 to L do 
　　　　　　begin 
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} 
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} 
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) 
　　　　　　　　S=S′; 
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 
　　　　　　　　termination=true; 
　　　　　　End; 
　　　　T_lower; 
　　　End; 
　End 
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等。

参数控制问题 

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点： 
　(1) 温度T的初始值设置问题。 
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 
　(2) 退火速度问题。 
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 
　(3) 温度管理问题。 
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：T(t+1)＝k×T(t) 式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数。

五. 算法评价

        模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。