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1.连续统假设的来源及其历史演变

连续统假设,简称CH,是康托尔在创立集合论时提出的一个问题,要了解这个问题,就必须了解康托尔是怎样建立集合论的.

康托尔采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合

第一种方法是利用幂集合,他证明了一个集合总比其幂集合要小,而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势,即:元素个数相等,这样,从自然数集N开始,利用幂集合方法,就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合.

N, P(N), P(P(N)),...

第二种方法是利用超穷数,康托尔提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则,从1开始,任何序数α加1后仍是一个序数,这样,从1开始,就可以形成一个无穷序数序列.

1,2,3,…,n,…

在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则,如果一个无穷序数序列中没有最大序数,那么必然存在一个极限序数ω,这是一个新的序数,这样,从ω开始反复加1,又可以得到一系列无穷极限序数.

ω,…, 2ω,…,ω2,…,ωn,…

但这些极限序数都是等势的,第三原则,康托尔认为,这个极限序数序列中也没有最大序数,所以必然存在一个更大的超穷序数ω1,它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大,这样,反复利用这三条原则,就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数,又被称为超穷基数.

ω1,…,ω2,…,ωn,…

康托尔自然就提出这样一个问题:实数集R的基数2ω到底和上述哪个超穷基数等势呢?他认为2ω等于ω1,这就意味着在N和R之间不存在其他无穷集合,但康托尔不能给出证明,这一问题就被称为连续统假设,后来,人们把CH进行了推广,认为对于任何一个超穷基数ωn,都有2^(ωn)=ωn+1成立,这就是广义连续统假设GCH.

但不久人们就在康托尔的集合论中发现了悖论,为了消除这些悖论,就开始对集合论进行公理化处理,并先后建立了几个集合论公理系统,这些系统被证明都是等价的,人们通常使用的是ZFC,进行公理化后,基本上都能消除悖论.

但是,接着又出现了新的问题,哥德尔和柯恩一起证明了:CH在ZFC中是不可判定的,这一结果立即引起了人们对数学基础问题的极大争论,其中,哥德尔和柯恩两人的看法是具有代表性的.

柯恩是个形式主义者,他认为CH问题“是没有内在的意义的”,在他看来,CH在集合论中的地位,就类似于平行公理在几何学中的地位,它可能成立也可能不成立,因此就存在不同的集合论公理系统,就好像存在不同的几何学一样,他还把CH不成立的集合论称为非康托尔集论,柯恩的看法赢得了大多数数学家的赞同,这是主流的观点,一些极端的形式主义者甚至认为2ω可以等于任何一个ωn,每一种可能都描述了连续统上一种不同的流形结构,从这种意义上来说,CH问题已经得到了解决.

但哥德尔恐怕很难同意上述意见,他是个客观主义者也可以说是柏拉图主义者,他认为像CH这样一个命题是完全可以作出判定的,而CH在ZFC中的不可判定性,“只能意味着这些公理没有包括那个实在(指连续统)的完备的描述”,说得更直观一点,像“在自然数集N和实数集R之间究竟还有没有另一个无穷集合”这样的问题,似乎是应该有一个明确结论的,从这种意义上来说,CH问题还没有得到解决.

但究竟怎样来解决CH问题,两人的意见是一致的,那就是必须重新考察集合论基础,哥德尔认为:“这些问题的完全解决,只有通过对在它们中出现的词项(如‘集合’、‘一一对应’,等等)和支配这些词项的使用的公理进行(比通常所作的)更深入的分析,才能得到”,柯恩也认为,如果要来“发展我们的哪些公理应当被接受”,那“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回差不多是本能的水平,即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态”,而且两人都猜测,CH很有可能是不成立的,对此柯恩说得很明白:“由构造幂集提供的连续统,不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可以达到的,这样,2ω将被认为大于ω1,ω2,ωn的基数”,也就是说,2ω要大于任何超穷基数,而这正是我所证明的结果.

2.关于连续统假设的否定性证明简介

我差不多花了十年时间来研究CH问题,我的证明思想是非常直观和简洁的,但整个证明的展开却非常复杂和精致,如果不是感受到证明中的美,我是不会花这么大的精力和这么长的时间来投入其中的.

我的出发点很简单:就是要把N的子集合来排成一个良序集,弗兰克尔曾经指出过,由子集合公理和选择公理产生的子集合可能与幂集合公理产生的子集合有很大差别,弗兰克尔曾明确指出:“康托尔认为,S的子集合就是S的一部分,子集合公理和选择公理产生的子集合可能与康托尔的子集合概念有很大区别,在没有弄清楚子集合的确切含义之前,不可能确定子集合的数目”,而这也正是柯恩的猜测,根据选择公理,我们可以将N的子集合排成一个良序集,选择公理的直观含义是指:对于任何一个无穷集合,我们都可以从中取出一个“代表元素”来,也就是说,我们可以从无穷集合中取出它的任何一个元素来组成一个新的集合,这样,按照自然数的顺序依次取出1,2,3,...,n,...来作为“代表元素”,就可以把N的子集合排成如下一个良序集:

{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},{1,4},...

{2},{2,3},{2,4},{2,3,4},{2,5},...

{n},{n,n+1},{n,n+2},{n,n+1,n+2},{n+3},...

这个良序集的排列顺序与康托尔的超穷序数序列是严格对应的,我们把这个良序集记作P∞(N),称为“N的超幂集合”,需要注意的是,P∞(N)并不一定等于P(N),也就是说,幂集合公理并不一定成立,这是我解决CH问题的一个关键性思想.

这样,从N开始,就可以形成一系列的无穷超幂集合:

P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),...

通过重新考察集合论基础,我发展出一种非常精致的方法来描述超幂集合序结构的逻辑性质,但这里就不展开讨论了,并最后证明了两个定理:

1.超幂集合P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数是逐次增大的
2.所有P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数都小于2ω

我的证明中还包含了许多重要的内容,其中有两个定理相当于两个较强的哥德尔不完备性定理,有一个定理相当于勒文海姆-斯科伦定理,这就说明它决不是孤立的,与原来的集合论之间肯定存在着某种内在的联系.

3.判定连续统假设对数学的重大意义

数学基础中最主要的问题就是如何处理自然数和实数的关系,即如何用离散的方法来构造连续统,自从古希腊人发现这个难题以来,至今它仍未得到完全解决,利用戴德金分割并不能得到所有的实数,它最多只能得到所有的代数数,而绝大多数超越数是不可构造的,甚至不可知的,直觉主义数学家海廷曾经评价过,戴德金分割,这个算法仍然没有给我们提供任何途径来判定一个有理数A究竟位于C的左边或右边或者刚好等于C,因此,我们将不能保证欧拉常数C是一个实数,非标准分析也给我们提供了这样一种印象,直线上的点其实是无限可分的,这就说明,我们对连续统还所知甚少,数学归纳法是数学的基本方法,它是建立在自然数基础上的,对连续统假设的否定性证明正好说明:人们可以用这种方法去无限逼近连续统,但却永远也不能达到其尽头,正如帕斯卡尔比喻的那样:人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟,我们总想要追求某种确定性,但却永远也抓不住,一不小心我们的整个基础就会分崩离析,而下面就是那无底深渊,对于自然,我们人类永远只是探索者,而没有终结者.

posted on 2017-12-31 11:50  milantgh  阅读(1965)  评论(0编辑  收藏