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谨以此文纪念杨振宁、李政道先生获得诺贝尔物理学奖60周年.

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.

戴德金分割

已知对于戴德金分割,把实数域拆分成两个均非空集A及A',使能满足:

情形1:每一实数必落在集A,A'中一个且仅一个之内

情形2:集A的每一数α小于集A'的每一数α'

戴德金定理

它是刻画实数连续性的命题之一,也称实数完备性定理,它断言,若A|A'是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合,并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割,则由它可确定惟一实数β,若β落在A内,则它为A中最大元,若β落在A'内,则它是A'中最小元,这个定理说明,R的分割与全体实数是一一对应的,反映在数轴上,它又说明R的分割不再出现空隙,因此,这个定理可用来刻画实数的连续性.

下面我们在戴德金分割的基础上给出戴德金(基本)定理的证明过程:

将属于A的一切有理数集记成A,属于A'的一切有理数集记成A',容易证明,集A及集A'形成有理数域内的一个分划,这分划A|A'确定出某一实数β,它应该落在A组或A'组之一内,假定β落在下组A内,则这样就实现了情形1,β就是A组的最大数,假定如果不是这样,便可在这组内找出大于β的另一数α0,现在α0与β之间插入有理数r,使α0>r>β,r亦属于A,故必属于A的一部分,这样就得出了谬论,即有理数r属于确定β的戴德金分割的下组,却又大于β,因此,就证明了戴德金定理的正确性,类似地,如果假定β落在上组A'内,同样可以证明.

戴德金分割存在的几点疑问:

1.根据戴德金分割(我们可以)证明:1=0.999......

证明:设 t=0.999......,作两个有理数集的分割

A={x|x<t,x有理数},B={x|x>=t,x有理数}

C={x|x<1,x有理数},D={x|x>=1,x有理数}

分割A/B确定了实数t=0.999......(我们暂时不知道t=0.999......是有理数还是无理数)

分割C/D确定了有理数1

为证明 t=1,我们只需要证明这两个分割是相同的,即证明 A=C

若有理数 x∈A,则显然有 x<1,于是 x∈C

若有理数 x∈C,则 x<1,不妨设 x>0

根据有理数的定义,我们可以把x用分数的形式表示为

x=p/q,(p,q为正整数)

既然0<x<1,则必有p<q

于是由1-p/q>=1/q>0,可得存在正整数n,使得

1/q>1/10^n>0

x=p/q<=1-1/q<1-1/10^n=0.99...9(n个9)<t

既然x<t,这就说明x∈A

由上,我们就得到了A=C,从而,A/B和C/D是两个相同的分割,因此, 0.999...=t=1

2.循环整数

因为,0.9循环-0.8循环=0.1循环,所以,等式两边同时去掉“0”与“.”后有:

9循环-8循环=1循环,我们把9循环,8循环,1循环称为循环整数

我们知道在任何时候,0.9循环等于0.9循环,不可能你在做一道题时你前一分钟使用的0.9循环比后一分钟使用的0.9循环小,有0.9循环的小数位循环与时间没有关系,循环小数是常数,循环整数的基础是循环小数,决定了循环整数是常数,且循环整数不是无穷大的数,因为无穷大是变量,而常数在数轴上有对应的固定点,可得,9循环的整数位循环与时间没有关系且9循环的整数位个数等于0.9循环的小数位个数.

设Q=9循环/0.9循环,有Q-9循环=1,得到,1-0.9循环=Q/Q-9循环/Q=1/Q

因为Q大于0,所以1/Q大于0,即1-0.9循环>0

找到了大于0.999...而小于1的常数,如0.999......<0.999......+0.01/9循环<1

以1/Q为单元可以推导出牛顿-莱布尼茨公式和弧长公式等微积分内容

综上,循环整数的引入,导致1-0.999......>0,与戴德金分割的1=0.999......存在不同的结果

戴德金分割存在的数学问题会涉及很多的物理问题,比如真空量子涨落没有违背能量守恒,我们知道在真空量子涨落里,产生的能量越大,则该能量存在的时间越短,涨落发生在空间中的任何地方,而且能量存在的时间非常短,时刻一到,它就要消失,时空纠缠计算也揭示出这种现象,时空纠缠能量越大的时候,能量在四维时空存在的时间就越短,时空纠缠能量越小的时候,能量在四维时空存在的时间就越长,这里跟量子纠缠和暗物质也有关联,时空纠缠的存在,说明了不同维度时空不是独立存在的,不同维度时空是个纠缠的整体.

posted on 2017-12-10 18:55  milantgh  阅读(7978)  评论(0编辑  收藏