模拟测试20191002

好像一年没写题解了

这次考试好像从开考10min后就没有分了？

T2用错误的题意和错误的代码得出了样例，偷税然鹅爆零了

T3只会打暴力，试着反演然而第一不会证复杂度第二反演已经快忘干净了

T1：天空龙

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T2：巨神兵

题意大概就是求构成DAG的方案数

既然是DAG理所当然的想到分层

设$ dp[i][j] $表示当前点集为i，最后一层为j的方案数

令$ in(i,j) $表示j中的点都和i中的点有边，$ has[i] $表示能直接到i的点，$ cnt[i] $表示i中1的个数

那么$ dp[i\cup t][t]=\sum \limits_{in(j,t),i\cap t== \varnothing }dp[i][j]\prod \limits_{p\epsilon t}(2^{cnt[has[p]\cap j]}-1)(2^{cnt[has[p]\cap (i \wedge j)]})   $

然而这样复杂度是$ O(4^{n}n) $的，考虑一下怎么优化

假设我们把dp第二维去掉，即$ dp[i] $表示当前点集为i的方案数

由于我们仍然分层进行dp，不用考虑出环的情况，那就只剩下了方案重复的情况

考虑容斥，我们让每个sz为奇数的集合对答案加上贡献，为偶数的对答案减去贡献

因为对于点集i|j的一种连边方案，可以有多种方式划分成i,j,

这就意味着不同的i,j可能包含了同样的方案。

于是以j中包含的元素把并集为k的i和j分类

得到转移方程$ dp[i\cup j]=\sum \limits_{i\cap j==\varnothing }(-1)^{cnt[i]+1}dp[i]\prod \limits_{p\in j }2^{cnt[has[p]\cap i]} $

复杂度$ O(3^{n}n) $

 

T3:太阳神

反演快忘干净的蒟蒻试图通过一道题来复习

由于>n的不好计算，我们计算<n的情况

　　$\sum \limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[ \frac{ij}{gcd(i,j)}\leq n ]$

 　=$\sum\limits_{d=1}^{n}\sum \limits_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{di} \right \rfloor}\left [ gcd(i,j)==1 \right ]$

　 =$\sum\limits_{d=1}^{n}\sum \limits_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{di} \right \rfloor} \sum \limits_{g\mid gcd(i,j)}\mu [g]$

　 =$\sum \limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{g=1}\mu [g]\sum \limits_{i=1}\sum \limits_{j=1} \left \lfloor \frac{n}{ijdg^2} \right \rfloor$

　 =$\sum \limits_{i=1}^{\sqrt{n}}\mu [i]\sum \limits_{a=1}\sum \limits_{b=1} \sum \limits_{d=1}[abd\leq \frac{n}{i^{2}}]$

直接枚举i,a,b可以得到可行的d，通过积分可知复杂度为$ O(n^{\frac{2}{3}}) $