bzoj3994: [SDOI2015]约数个数和(反演+结论?!)

这题做的历程堪称惊心动魄

刚刚学了莫比乌斯反演的我高高兴兴的和cbx一起反演式子

期间有突破,有停滞,有否定

然后苟蒻的我背着cbx偷偷打开了题解

看到了

我。。。。。。

去你的有个性质啊(当然还是自己知识储备不足)

具体证明
(其实当时主要是想的方向偏了,不然这个定理自己也能想出来)

然后就可以愉快的反演了

 Σ(i∈[1,n])Σ(j∈[1.m])d(x,y)

(i=1)Σ(j=1)Σ(x|i)Σ(y|j)[gcd(x,y)==1]

(i=1)Σ(j=1)((n/i)*(m/j))Σ(d|i&&d|j)μ(d)

(d=1)μ(d)Σ(i=1) (n/(d*i)) Σ(j=1)(m/(d*j))

然后我们观察Σ(n/(d*i))
根据性质 (n/(d*i))==((n/d)/i)
我们发现这个东西可以用数论分块O(sqrt(n))预处理,设为f[i]
则原式= Σ(d=1)(μ(d)f[n/d]*f[m/d])
再用数论分块就好了
复杂度O(n*sqrt(n)+T*sqrt(n))

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 int mu[50100],p[50010],top;ll tot[50100],f[50100];bool v[50010];
 7 int main(){
 8     f[1]=1;tot[1]=1;
 9     for(int i=2;i<=50000;i++){
10         if(!v[i]){
11             p[++top]=i;
12             mu[i]=-1;
13         }
14         for(int j=1;j<=top&&i*p[j]<=50000;j++){
15             if(!(i%p[j])){
16                 v[i*p[j]]=1;
17                 break;
18             } 
19             mu[i*p[j]]=-mu[i];
20             v[i*p[j]]=1;
21         }
22         tot[i]=tot[i-1]+mu[i];
23         int x;
24         for(int j=1;j<=i;j=x+1){
25             x=(i/(i/j));
26             f[i]+=(x-j+1)*(i/j);
27         }
28     }   
29     int j,n,m,t;ll ans;
30     scanf("%d",&t);
31     while(t--){
32         scanf("%d%d",&n,&m);
33         if(n>m) swap(n,m);ans=0;
34         for(int i=1;i<=n;i=j+1){
35             j=min((n/(n/i)),(m/(m/i)));
36             ans+=(tot[j]-tot[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
37         }
38         printf("%lld\n",ans);
39     }
40 }
第一篇题解博客纪念

 

${\color{Teal} 只}$${\color{Teal} 是}$${\color{Teal} 拼}$${\color{Teal} 凑}$${\color{Teal} 出}$${\color{Teal} 与}$${\color{Teal} 你}$${\color{Teal} 在}$${\color{Teal} 一}$${\color{Teal} 起}$${\color{Teal} 的}$${\color{Teal} 时}$${\color{Teal} 间}$
posted @ 2019-06-12 17:06  mikufun♘  阅读(238)  评论(2编辑  收藏  举报