群论浅谈

1. 群

1.1 群的定义

若集合 \(S \not=\varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足以下性质：

• 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)

• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)

• 单位元：\(\exists e\in S,e\cdot a=a\cdot e=a\)

• 逆元：\(\forall a\in S,\exists b\in S,a\cdot b=b\cdot a=e\)，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)

则称 \((S,\cdot)\) 是一个群。（\(S\) 一定是非空的）

• 交换群：满足交换律的群

• 半群：满足封闭性和结合律（可能不是群）

• 有限群：元素个数有限，元素的个数称为有限群的阶

• 环：\((S,+,\cdot)\) 满足 \((S,+)\) 是交换群，\((S\setminus\{0\},\cdot)\) 是半群（其中 \(0\) 是 \((S,+)\) 的单位元）

• 域：\((S,+,\cdot)\) 满足 \((S,+),(S\setminus\{0\},\cdot)\) 是交换群（其中 \(0\) 是 \((S,+)\) 的单位元）

1.2 群的基本性质

• 一个群的单位元唯一

证明：若有两个单位元 \(e_1,e_2\)，则 \(e_1=e_1e_2=e_2\)。

• 若 \(a\cdot x=e\)，我们称 \(a\) 是 \(x\) 的左逆元；若 \(x\cdot b=e\) 我们称 \(b\) 是 \(x\) 的右逆元
  可以证明，在一个群中，左逆元和右逆元是一样的

证明：不妨设 \(c\cdot a=e\)，则 \(x\cdot a=(c\cdot a)\cdot (x\cdot a)=c\cdot(a\cdot x)\cdot a=c\cdot a=e\)，即 \(a\) 也是 \(x\) 的右逆元。

• 一个群中 \(x\) 的逆元唯一

证明：若 \(x\) 有两个逆元 \(a,b\)，则 \(a=a\cdot x\cdot b=b\)。

• 群中有消去律存在。即 \(\forall a,b,x\in G,ax=bx\iff a=b\)

证明：两边同乘逆元。

1.3 子群及其衍生

抄不动了，直接上 \(Burnside\) 和 \(Polya\) 吧。

2. \(Burnside\)

2.1 内容

假设一个集合 \(X\) 的同构的置换群为 \(G\)，那么 \(X\) 在 \(G\) 下的本质不同元素数是 \(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)，其中 \(|X^g|\) 是 \(X\) 在置换 \(g\) 下的不动点数。

2.2 例题

其实不常见，更常用的是特殊形式下的 \(Burnside\)：\(Polya\)。

3. \(Polya\)

3.1 内容

假设一个集合 \(X\) 的同构的置换群为 \(G\)，且每个元素有 \(m\) 种选择方案，那么 \(X\) 在 \(G\) 下的本质不同元素数是 \(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}m^{|X^g|}\)，其中 \(|X^g|\) 是 \(X\) 在置换 \(g\) 下的环数。

3.2 例题

[HNOI2009]图的同构计数

\(|G|\) 显然是 \(n!\)，而边数太大不好算，考虑利用点的置换计算边的等价类。

1. 假设一条边的两端在同一个大小为 \(m\) 的置换环里，那么这个置换环内总共有 \(\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\) 个等价类，原因是考虑把这些点围成一个正多边形，有 \(\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\) 种长度不同的边，而每一种边算一个等价类。

2. 假设一条边的两端分别在大小为 \(x,y\) 的置换环里，那么这两个置换环之间共有 \(\gcd(x,y)\) 个等价类，原因是每条边 \(\text{lcm}(x,y)\) 次后会回到原位，所以一个等价类大小为 \(\text{lcm}(x,y)\)，等价类数量就是 \(\gcd(x,y)\)。

又因为我们只关心置换环的大小和数量，不关心里面的数，可以用组合数算贡献，至于大小 dfs 就好了。

[SHOI2006] 有色图

和上题一模一样，把 \(2\) 换成 \(m\) 就行了。

【模板】Pólya 定理

由于只有循环置换，所以 \(|X/G|=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n n^{\gcd(i,n)}\)。

\(\begin{alignedat}{3} |X/G|&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n n^{\gcd(i,n)}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{d=1}^n n^d\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{d|n} n^{d-1}\phi(\frac{n}{d}) \end{alignedat}\)

直接算即可。

[蓝桥杯 2015 国 B] 模型染色

\(n\le 10\)，直接 \(n!\) 枚举置换，对每两个点间检查是否有边判断是不是同构置换，用 \(Polya\) 直接算就行了。