交换a，b中的元素，使序列a元素的和与序列b元素的和之间的差最小
题目：有两个序列a,b，大小都为n,序列元素的值任意整数，无序；要求：通过交换a,b中的元素，使[序列a元素的和]与[序列b元素的和]之间的差最小。
例如:
var a=[100 ,99 ,98 ,1 ,2 ,3]; var b=[1, 2, 3, 4, 5, 40];
思路一：
当前数组a和数组b的和之差为
A = sum(a) - sum(b)
a的第i个元素和b的第j个元素交换后，a和b的和之差为
A' = sum(a) - a[i] + b[j] - （sum(b)- b[j] + a[i])
= sum(a) - sum(b) - 2 (a[i] - b[j])
= A - 2 (a[i] - b[j])
设x= a[i] - b[j]
|A| - |A'| = |A| - |A-2x|
假设A> 0,
当x在(0,A)之间时，做这样的交换才能使得交换后的a和b的和之差变小，x越接近A/2效果越好,如果找不到在(0,A)之间的x，则当前的a和b就是答案。
所以算法大概如下：
在a和b中寻找使得x在(0,A)之间并且最接近A/2的i和j，交换相应的i和j元素，重新计算A后，重复前面的步骤直至找不到(0,A)之间的x为止。
实现代码：
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int GetSum(int *a, int len) { int sum = 0; for(int i = 0; i < len; i++) sum += a[i]; return sum; } int GetMinSub(int *a, int *b, int len) { if(a == NULL || b == NULL || len <= 0) return -1; bool flag = true; while(flag) { flag = false; int suma = GetSum(a, len); int sumb = GetSum(b, len); int sub = suma - sumb; for(int i = 0; i < len; i++) { for(int j = 0; j < len; j++) { int subij = a[i] - b[j]; if(subij * sub > 0 && abs(subij) < abs(sub)) { int t = a[i]; a[i] = b[j]; b[j] = t; flag = true; break; } } if(flag) break; } } return GetSum(a, len) - GetSum(b, len); } int main(void) { int a[] = {1, 4, 5, 800}; int b[] = {2, 3, 6, 700}; int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]); int minSub = GetMinSub(a, b, len); for(int i = 0; i < len; ++i) cout<<a[i]<<" "; cout<<endl; for(int i = 0; i < len; ++i) cout<<b[i]<<" "; cout<<endl; cout<<minSub<<endl; return 0; }
结果：
以上这种解法是有缺陷的，得到的结果并不一定是全局最优值，因为：
一，题目要求的是差值最小的方案，所以交换一对数据是不能实现的。
二，最后交换一对数据无法使差值减小，但是存在同时交换两对(还有更多对)数据可以减小差值的可能。
比如：如果两个序列分别是[-3,9,10,65]和[5,6,13,55]，按以上的算法这就是最优解了。可是显然[-3,5,13,65]和[6,9,10,55]更好。
思路二：
1.将两序列合并为一个序列，并排序，为序列Source
2.拿出最大元素Big，次大的元素Small
3.在余下的序列S[:-2]进行平分，得到序列max，min
4.将Small加到max序列，将Big加大min序列，重新计算新序列和，和大的为max，小的为min。
a={1,2,3,4,5} b={6,7,8,9,10}
s={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
a={1,3,6,7,10}
b={2,4,5,8,9}
思路三：
下面给出一种能找出全局最优值的解法，使用动态规划的算法实现
- 求解思路:使用动态规划的思路
- * 外阶段：在前i个数中进行选择，i=1,2...2*n。
- * 内阶段：从这i个数中任意选出j个数，j=1,2...i。
- * 状态：这j个数的和为s，s=1,2...sum/2。
- * 决策：决定这j个数的和有两种决策，一个是这j个数中包含第i个数，另一个是不包含第i个数。
- * dp[k][s]表示从前k个数中取任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在。
- 在程序中我们给出S(k)的所有可能取值v和arr[k],去寻找v-arr[k]是否在S(k-1)={Vi}中，由于S(k)的可能取值的集合的大小与k无关，所以这样设计的动态规划算法其第k步的时间复杂度与k无关。
- 代码如下：
/* *copyright@nciaebupt 转载请注明出处 *问题：有两个序列a,b，大小都为n,序列元素的值任意整数，无序； *要求：通过交换a,b中的元素，使[序列a元素的和]与[序列b元素的和]之间的差最小。 *比如 a=[100 ,99 ,98 ,1 ,2 ,3]; b=[1, 2, 3, 4, 5, 40];结果为48 *求解思路:使用动态规划的思路 * 外阶段：在前i个数中进行选择，i=1,2...2*n。 * 内阶段：从这i个数中任意选出j个数，j=1,2...i。 * 状态：这j个数的和为s，s=1,2...sum/2。 * 决策：决定这j个数的和有两种决策，一个是这j个数中包含第i个数，另一个是不包含第i个数。 * dp[k][s]表示从前k个数中取任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在。 *在程序中我们给出S(k)的所有可能取值v和arr[k],去寻找v-arr[k]是否在S(k-1)={Vi}中， *由于S(k)的可能取值的集合的大小与k无关， *所以这样设计的动态规划算法其第k步的时间复杂度与k无关 */ #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 101 #define MAXSUM 100000 bool dp[MAXN][MAXSUM]; int c_sum(int *c,int len) { int sum = 0; for(int i = 0;i < len;++i) { sum = sum + c[i]; } return sum; } int min(int a,int b) { if(a < b) return a; else return b; } void exchangeAB(int * c,int len) { int sum = c_sum(c,2*len); memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0] = true; //外阶段i表示第i个数，内阶段j表示选取数的个数 for(int i = 1;i <= 2*len;++i)//外阶段i { for(int j = min(i,len);j >=1;--j)//内阶段j { for(int s = 1;s <= sum/2;++s)//S(k)的所有可能取值s { if((s >= c[i]) && dp[j-1][s-c[i]])//j个数中是否包含第i个数 { dp[j][s]=true; //cout<<s<<endl; } } } } int s = sum/2; for(;s>=1 && !dp[len][s];s--) ; cout<<sum - 2*s<<endl; } int main(int args,char ** argv) { //int a[] = {100 ,99 ,98 ,1 ,2 ,3}; //int b[] = {1, 2, 3, 4, 5, 40}; int a[] = {-3,9,10,65}; int b[] = {5,6,13,55}; int len = sizeof(a)/sizeof(int); //将数组a与b中的值放在数组c中 int c[MAXN]; int pos = 0; for(int i = 0;i <= len;++i) { c[i] = a[i]; pos = i; } for(int j = 0;j <= len;++j) { c[pos+j] = b[j]; } for(int i = 0;i < 2*len;++i) { cout<<c[i]<<" "; } cout<<endl; exchangeAB(c,len); return 0; }
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