质因数分解写法

众所周知，大部分情况下我们（至少是我）都会使用以下这一种：

vector<pair<int, int> > v;
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
{
    int cnt = 0; // 计数：n有多少个为i的质因数
    while (n % i == 0)
    {
        cnt++; // 存在一个
        n /= i; // 把它除掉
    }
    v.push_back({i, cnt}); // 记录
}
if (n > 1)
{
    v.push_back({n, 1}); // 注意最后n > 1的话需要记录
}

这种方法非常好写，还是\(O(\sqrt{n})\)的，但是我们会发现，如果我们想要速度，这种方法就不是最优了，因为如果\(i\)是个合数，那很明显不会参与到质因数的分解之中，但是我们还是遍历到了这些合数。所以如果想要加速，我们可以只遍历质数。

// 欧拉筛
int cc = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
    if (!b[i]) p[++cc] = i;
    for (int j = 1; j <= cc && 1ll * i * p[j] <= N; j++)
    {
        b[i * p[j]] = true;
        if (i % p[j] == 0) break;
    }
}


vector<pair<int, int> > v;
for (int k = 1; 1ll * p[k] * p[k] <= n; k++) // 只枚举质数
{
    int j = p[k];
    int c = 0;
    while (n % j == 0) 
    {
        c++; //计数
        n /= j; // 除掉
    }
    v.push_back({j, c}); // 记录
}
if (n > 1)
{
    v.push_back({n, 1}); // 特判，记录
}

但是这样还会出现多余的质数，也就是说有些质数不是能分解出来的，但是还是遍历到的。

所以我们可以在欧拉筛的时候顺便把每个数字的最小的质因数（如果这个数字是质数，就是本身）求出来。

然后每次只要找到当前数字的这个最小的质因数，全部分解出来后继续找最小，直到这个数字\(=1\)停止。

代码：

int cc = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
    if (!b[i])
    { 
        b[i] = i; // 质数的最小质因数为本身
        p[++cc] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= cc && 1ll * i * p[j] <= N; j++)
    {
        b[i * p[j]] = p[j]; // 第一个把这个数字给筛掉的质数就是最小质因数
        if (i % p[j] == 0) break;
    }
}
vector<pair<int, int> > v;
while (n > 1)
{
    int j = b[n]; // 找到当前数字的最小质因数
    int c = 0;
    while (n % j == 0)
    {
        c++; // 计数
        n /= j; // 除掉
    }
    v.push_back({j, c}); // 记录
}
// 因为我们已经确定了质数的最小质因数为本身，所以不需要再判断了。

在此，以此文章，铭记我因不会第3种分解质因数而与场切AT_abc445_e失之交臂。