33dai三十三天备考计划训练第一天 [DAY01] D0624角谷变换 题解

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题面

33DAI 规定了一个上限正整数 \(R\)，然后定义了一个非常有意思的函数：

int f(int x, int n)
{
    if (n == 0)
        return x;
    if (x % 2 == 0)
        return f(x / 2, n - 1);
    return f(min(3 * x + 1, R), n - 1);
}

33DAI 希望你帮他算算 \(Q\) 个 函数值。

即算出\(Q\)个\(f(x_i,n_i)\)

\(1 \leq Q,R \leq 10^6\)
\(1 \leq x_i \leq R\)
\(1 \leq n_i \leq 10^9\)

思路

如果使用暴力，时间复杂度将会达到\(Qn\)，显然不行。

这题可以利用\(\color{orange}{倍增}\)来做。

因为一次性变换\(n\)次，显然是可以拆成先变\(a_1\)次，然后变\(a_2\)次，...,最后变\(a_k\)次（\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{k} a_i = n}\)) ，也就是说一次性变换\(n\) 次，可以拆成多次总共变换\(n\)次。

那么我们可以利用倍增在\(O(R\log 10^9)\)的时间复杂度内做出来：

• 将\(i\)变换\(2^j\)次后会变成哪个数字。

因为\(R\)是不变的，所以我们在\(Q\)次之前做完。

那么接下来，我们可以把一次性变换\(n\)次拆成变换多次，每次变换\(2^k\)次(\(0 \leq k \leq \log_2 n\)) ，求如何拆可以看\(n\)的二进制，因为二进制的每一位都是代表一个2的整数次幂。

那么这题就做好了，时间复杂度\((R\log 10^9) + Q\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000001][31]; // 倍增数组
int main()
{
    int Q, R;
    cin >> Q >> R;
    for (int i = 1; i <= R; i++)
    {
        if (i % 2 == 0) f[i][0] = i / 2; // 预处理出i变一次
        else f[i][0] = min(i * 3 + 1, R); // 同上
    }
    for (int j = 1; (1 << j) <= 1e9; j++)
    {
        for (int i = 1; i <= R; i++)
        {
            f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1]; // 倍增求i变2^j次。
        }
    }
    while (Q--)
    {
        int ans = 0;
        int x, n;
        cin >> x >> n;
        ans = x;
        for (int j = 30; j >= 0 && n > 0; j--)
        {
            if ((1 << j) <= n) // 从n中拆出2^j
            {
                ans = f[ans][j]; // 变换2^j次
                n -= (1 << j); // 记得减去
            }
        }
        cout << ans << '\n'; // 输出
    }
    return 0;
}

完结撒花~~~~