AT_abc425_e 题解

前言

时隔1个月，我又来写题解了~~~~~。
这个题目其实不是很难，挺简单的，考场上思路方向错了。

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题面：

你会获得一个正整数\(N\)，和一个长度为\(N\)的正整数数组：\(C = (C_1,C_2,...,C_N)\)
你需要求出的是：所有满足以下条件的数组的个数模上给定的正整数\(M\)

• 数组中所有的数字均为\(1\)到\(N\)中的一个数。

• 对于\(i = 1,2,...,N\)，数字\(i\)在数组中出现正好\(C_i\)次。
  每次会给\(T\)组数据，你需要把每个数据的答案都求出来，\(M\)在这\(T\)组数据中都是一样的。

• \(1 \leq T \leq 10^5\)

• \(2 \leq M \leq 10^9\)

• \(1 \leq N\)

• \(1 \leq C_i\)

• \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{N} C_i} \leq 5000\)

• 所有的\(T\)组数据中，所有\(N\)的和不超过\(3 \times 10^5\)

• 所有的输入都是整数。

题解

首先们可以把题目稍微简化一下。

那么这道题就是把\(C_1个1，C_2个2，C_3个3，...，C_N个N\)全部拼起来的方案数，总长度是\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{N} C_i}\)。

我们给\(C\)求一个前缀和\(S\)，即$S_i = \displaystyle{\sum_{j=1}^{i} C_j} $

那么总长度就是\(S_N\)。

接下来算拼起来的方案数，可以从简单题考虑到难题。
简单题：

有15个球，除了颜色外都相同，其中有5个红球，6个蓝球，4个绿球请问有多少种排法。
这道题的做法很简单：先算15个球中选5个红球，再从剩下的10个球中选6个蓝球，最后在5个球种选4个绿球。
列式就是：\(C_{15}^5 \times C_{(15-5)}^6 \times C_{(15-5-6)}^4\)

那么类比到这道题
可以看出答案就是 \(\displaystyle{\prod_{i=1}^{N} \Large{C}_{\small{(S_N-S_{i-1})}}^{\small{C_i}}}\)

\((S_N-S_{i-1})\)就是算取\(C_i\)个数字（也就是上面的球）前剩下多少。

那么这道题就基本解决了。。。。。等一下！如果我们直接每次算\(\Large{C}_{\small{(S_N-S_{i-1})}}^{\small{C_i}}\)会时间爆掉，怎么办呢？

我们可以提前预处理出每一个\(C_i^j\)来，因为\((S_N-S_{i-1})\)和\(C_i\)不超过5000，所以我们可以用\(5000^2\)的时间把\(C_i^j\)预处理出来。而且由于\(M\)在所有的组中是一样的，所以可以直接在输入后去预处理（预处理用杨辉三角），这样就可以不爆时间了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int c[300001];
int C[5001][5001];
int s[300001];
signed main()
{
    int t, m;
    cin >> t >> m;
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 5000; i++) // 预处理
    {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % m; // 杨辉三角
        }
    }
    while (t--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> c[i];
            s[i] = s[i - 1] + c[i]; // 求前缀和
        }
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            ans = ans * C[s[n] - s[i - 1]][c[i]] % m; // 按照公式，求答案。
        }
        cout << ans << endl;

    }
    return 0;
}

完结撒花~~~~