AtCoder 415-E 题解

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\(\color{black}{AtCoder 415 E}\)

前言

其实没有特别的难了，就是要注意一些小坑。

题面

有一个人小A, 被困在了一个网格图里，网格图的第i行j列位于\((i,j)\)，初始时\((i,j)\)位置上有\(A_{i,j}\)个金币，第一天开始前小A拥有 \(x\) 枚金币，并且小A在位置\((1,1)\)

在网格图里的每一天，对于第 \(k\) 天 \((1 \leq k \leq H + W - 1)\) ，小A会按顺序做以下操作：

• 首先小A会拾取当前位置的金币
• 然后小A会花费 \(P_k\) 个金币买吃的，如果买不起就Game over！Game over就直接结束！
• 如果 \(k < (H + W - 1)\)那么小A会在向下和向右任意选取一个方向来移动(不能移出网格图!)
• 如果 \(k = (H + W - 1)\)，并且小A还没Game over，那么小A就可以逃离！

小B作为一名管理钱钱的上帝，可以决定 \(x\) 的取值，因为小B很善良但也喜欢钱，所以他打算：
在满足小A至少有一种逃离网格图的情况下，尽可能的使 \(x\) 的取值小。

请问，如果小B绝顶聪明，一定会在满足小A可以逃离的情况下使 \(x\) 最小，\(x\)究竟是多少？

思路

首先注意到题目要求满足条件的最小值，且题目满足二分性，可以考虑二分。

然后考虑如果我们已经知道了 \(x\) 那么该如何算出是否能够逃出网格图？

首先对于 \(x\)，我们可以让 \(A_{1,1}\) 临时加上 \(x\) ， 这样就不用在接下来考虑 \((1,1)\) 时额外考虑 \(x\) 了。

我们记\(dp_{i,j}\) 表示当我们到达了 \((i,j)\)并过完了相应的那一天，那么我们还能剩下多少个金币。
如果到 \((i,j)\) 一定会Game over 或者不能存活着到 \((i,j)\)，那么我们定义\(dp_{i,j} = -\inf\)

那么显然：\(dp_{i,j} = \max(dp_{i-1,j}, dp_{i,j-1}) + A_{i,j}- P_{i+j-1}\)

如果算完\(dp_{i,j}\)之后发现：\(dp_{i,j} \leq -1\) ，那么说明如果到 \((i,j)\) 一定会Game over，我们把\(dp_{i,j}\) 赋值为 \(-\inf\)
因为：\(（A_{i,j} < inf）\) 所以如果 \(\max(dp_{i-1,j}, dp_{i,j-1}) = -\inf\) 那么算完之后一定还是 \(\leq -1\)

最后如果\(dp_{H,W} \neq -1\) 那么说明可以逃出网格，否则不行。

还有我们希望所有\(dp_{i,0} (1 \leq i \leq H)\) 和 \(dp_{0,j} (1 \leq j \leq W)\)都不要干涉到我们取\(\max\)，所以初始化为 \(- \inf\)

所以做法就是：

二分找最小的\(x\)，\(check\)函数里面求如果初始时有 \(mid\) 个金币，那么是否可以逃出网格图。

注意：
1、由于题目只告诉你了\(H \times W \leq 2 \times 10^5\) ，所以这里我建议使用vector<int>[]来进行存储（千万不要用map<pair<int, int> >! map的时间复杂度有一个\(\log\)!!!!）！
2、\(dp\)数组记得初始化！
3、如果考虑的是 \((1,1)\)，不需要对\(dp_{i-1,j}\) 和 \(dp_{i,j-1})\) 取 \(\max\) ，因为不存在哪一个点到\((1,1)\)！
4、如果你用上面我的题解的方法，那别私自把失败改成\(-1\)，不然\(A_{i,j} + (-1) - P_{i+j-1}\)可能大于\(-1\)！
4、\(A_{1,1}\) 加上 \(mid\) 时暂时的，最后要记得 \(A_{1,1}\)减去\(mid\)！
5、如果你像我一样选择了vector<int>[]，且在\(check\)函数中时使用了从\(1\)开始的下标，那么输入的时候要用0和长度为\(W\)的全\(0\)vector来填充！
6、不开 long long 见祖宗！
7、二分时如果你像我一样使用\((l<r-1)\)且输出的是\(r\)，那么\(l\)要开到\(-1\)!（因为\(r\)可以取到\(0\)！）
8、二分初始时\(r\)要开大点，\(10^9\)不够！

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int h, w;
vector<int> mp[200001]; // 其实就是题解里的 A
vector<int> dp[200001]; // dp数组
int p[400001]; // p数组
int f(int r, int c) // 从A的位置找到p的位置
{
    return r + c - 1;
}
bool check(int mid) // check函数
{
    mp[1][1] += mid; // 临时加上 mid
    for (int i = 0; i <= h; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= w; j++)
        {
            dp[i][j] = -0x3f3f3f3f; // 初始化
        }
    }
    for (int i = 1; i <= h; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= w; j++)
        {
            int x = 0;
            if (i > 1 || j > 1) x = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]); // (1,1) 不需要找“从哪里来”
            int t = x + mp[i][j]; // 拿取这个格子的金币
            t -= p[f(i, j)]; // 买吃的
            if (t < 0) // 买不起就Game Over了
            {
                t = -0x3f3f3f3f; // 该回-inf
            }
            dp[i][j] = t; // 记录下来
        }
    }
    mp[1][1] -= mid; // 记得减回来
    return (dp[h][w] >= 0);
}
signed main()
{
    cin >> h >> w;
    for (int j = 0; j <= w; j++) // 先用0补一行
    {
        mp[0].push_back(0);
        dp[0].push_back(0);
    }
    for (int i = 1; i <= h; i++)
    {
        mp[i].push_back(0); // 用0补一列
        dp[i].push_back(0); // 用0补一列
        for (int j = 1; j <= w; j++)
        {
            int x;
            cin >> x;
            mp[i].push_back(x); // 用x填充mp数组
            dp[i].push_back(0); // 把0填充dp数组
        }
    }
    for (int i = 1; i <= h + w - 1; i++)
    {
        cin >> p[i]; // 输入p数组
    }
    int l = -1, r = 1e18; // l记得开到-1，r记得开大一点
    while (l < r - 1)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
        {
            r = mid;
        }
        else
        {
            l = mid;
        }
    }
    cout << r << endl; // 最后输出~
    return 0;
}

完结撒花 ✿✿ヽ(°▽°)ノ✿