33oj 2025练习赛1-F
0、*
前言
这道题简直是太难了，前后干了4~5天！T^T
细节超多啊啊啊！
注意WARNING: 本篇题解写得非常垃圾/乱，且本题非常难/恶心/ 毒瘤 ，请注意脑袋不要爆掉。
温馨提示：请尽量缩小窗口，不然Latex可能会炸掉。
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1、题面
题目描述
称一个正整数为好数，当且仅当它的所有数位从左往右不增或不降（特别地，一位数也为好数）。
如 $ 1,125,662,8899 $ 都是好数，但是 $ 132,7723 $ 都不是。现在给你一个好数，询问它是第几大的好数。
输入格式
第一行一个数字 \(T\)，表示数据组数。
接下来 \(T\) 行，一行一个好数 \(n\)。
输出格式
输出 \(T\) 行，每行一个数字，表示答案。
题目范围
$ 1 \leq T \leq 10^6, 1 \leq n \leq 10^{18}。 $
2、思路过程
我们假设 \(n\) 有 \(sz\) 位。
首先一眼瞟到数据范围，率先否认掉 $ O(Tn) $ 的纯暴力（虽然可以骗到20分，加点优化40分）。
然后很快发现 开longlong。
继续观察，显然：求 \(n\) 是第几个好数，相当于求 $ \leq n $ 的好数有多少个。
继续考虑时间复杂度，正解的复杂度很有可能为 \(O(T×sz)\) ，也许还要乘上一个常数 \(10\) ，不能再多了，否则直接TLE，所以初步可以判断位按位枚举。
那么这道题要怎么做呢？
我们分开思考上升和下降
上升（不降）：
思考到：我们应该是首先考虑小于 \(sz\) 位的所有数字的上升方案，然后是对于每一位进行枚举，将所有小于该位且大于等于上一位（如果没有上一位则就是1）的数字全部进行计算：当这个数字是倒数第 \(K\) 位时，且大小不限制（因为如果某位小于另一个数的那一位，且前面每一位两数相等，那么这个数就一定比另一个数小（不用管这个数后面几位有多大）），能产生多少种上升方案。然后继续考虑后面的位时，就认为这个位置恰好卡在了 \(n\) 的这一位上。
并且：如果有一位比前面一位小，那么就不能满足上升了，所以如果遇到，在将所有小于该位的数字进行计算前，就停止并返回当前统计得到的和。
如果到了最后都没有直接停止，那说明 \(n\) 就是一个上升好数，但前面由于最后一位也是只计算到，小于\(n\)的那一位，因此我们最后还要 +1。
那么我们所遇到的问题就是：
1、如何计算位数刚好为 \(m\) 且没有大小限制的上升好数个数？
2、如何计算倒数第 \(j\) 位是 \(i\) 且没有大小限制那么只考虑最后 \(j\) 位有多少种上升好数个数？
我们先考虑问题2，我们假定 up(i,j) 表示倒数第 \(j\) 位是 \(i\) 且没有大小限制那么只考虑最后 \(j\) 位有多少种上升好数个数。
范围：\(0 \leq i \leq 10 , 1 \leq j \leq 19\)。
不难发现：\(\displaystyle{up(i,j) = \sum_{k=i}^{9}up(k,j-1)}\)
继续改进：
注意：\(up(9,j) = 1 (1 \leq j \leq 19)\)
那么 up 数组就是：
那问题1呢？
很明显，问题1的答案(\(res1\))就是：\(\displaystyle{res1 = \sum_{k=1}^{9} up(m,k) = up(m+1,1)}\)
至此，上升就完成了。
下降（不升）：
和上升的思路类似。
同样的，我们应该是首先考虑小于 \(sz\) 位的所有数字的下降方案，然后是对于每一位进行枚举，将所有小于该位的数字全部进行计算：当这个数字是倒数第 \(K\) 位时，且大小不限制（因为如果某位小于另一个数的那一位，且前面每一位两数相等，那么这个数就一定比另一个数小（不用管这个数后面几位有多大）），能产生多少种下降方案。然后继续考虑后面的位时，就认为这个位置恰好卡在了 \(n\) 的这一位上。
注意：如果当前考虑的是最高位，不能考虑到0，其他位要考虑到0。
并且：如果有一位比前面一位大，那么就这次计算后不能满足下降了（因为我们认为后面考虑时前面都是顶着 \(n\) 的每一位的嘛），所以如果遇到，在将所有小于该位的数字进行计算后，就停止并返回当前统计得到的和。
注意，由于如果某一位发生了上升，那么我们也不能计算到这位-1，要与前面一位取min。
如果到了最后都没有直接停止，那说明 \(n\) 就是一个下降好数，但前面由于最后一位也是只计算到，小于\(n\)的那一位，因此我们最后还要 +1。
那么我们所遇到的问题就是：
1、如何计算位数刚好为 \(m\) 且没有大小限制的下降好数个数？
2、如何计算倒数第 \(j\) 位是 \(i\) 且没有大小限制那么只考虑最后 \(j\) 位有多少种下降好数个数？
我们先考虑问题2，我们假定 down(i,j) 表示倒数第 \(j\) 位是 \(i\) 且没有大小限制那么只考虑最后 \(j\) 位有多少种下降好数个数。
范围：\(0 \leq i \leq 10 , 1 \leq j \leq 19\)。
不难发现：\(\displaystyle{down(i,j) = \sum_{k=0}^{i}down(k,j-1)}\)
继续改进：\(\displaystyle{down(i,j) = \sum_{k=0}^{i}down(k,j-1) = down(i,j-1) + \sum_{k=0}^{i-1}down(k,j-1) = down(i,j-1) + down(i-1,j)}\)
注意：\(down(0,j) = 1 (1 \leq j \leq 19)\)
那么down数组就完成了
那问题1呢？
很明显，问题1的答案(\(res1\))就是：\(displaystyle{res1 = \sum_{k=1}^{9} down(m,k) = down(m+1,9)-down(m,0)}\)
这里减去down(m,0)是因为不能有前导0.
至此，下降就完成了。
可是就可以做了吗？等等！
既满足上升也满足下降（即所有数字一样）
我们把所有小于等于 \(n\) 的上升数字与下降数字求出来后，我们会发现他们有一部分是重叠的，这一部分算了两遍，需要减去一遍。
计算小于等于n且所有数字一样还是比较简单的
首先是位数小于 \(sz\) 的部分：
对于每一种位数都有9种（很明显吧）。
所以先有 \(9×(sz-1)\) 种。
接着，如果位数等于 \(sz\) 且每一个数字都小于 \(n\) 的最高位，那么又有几种: \(n\)的最高位-1：
最后判断一下 \(n\) 是否所有位都不小于最高位，如果满足，那么答案再+1，否则不+1
最后的最后
最后我们说一下怎么存一些变量。
\(n\): 因为我们要枚举 \(n\) 的每一位，所以我们可以从高位到低位把 \(n\) 存到 vector 里。
\(up,down\)：这两个可以用数组来存，由于需要多次使用，可以提前预处理。
还有：由于输入量极大，所以输入时建议关闭同步流，并且输出不要使用endl，用'\n'，endl慢到飞起。
这样就可以做了！
3、代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int up[10][20];
int down[10][20];
void init()
{
// 计算up数组
for (int j = 1; j <= 19; j++)
{
up[9][j] = 1;
for (int i = 8; i >= 0; i--)
{
up[i][j] = up[i + 1][j] + up[i][j - 1];
}
}
// 计算down数组
for (int j = 1; j <= 19; j++)
{
down[0][j] = 1;
for (int i = 1; i <= 9; i++)
{
down[i][j] = down[i - 1][j] + down[i][j - 1];
}
}
}
pair<vector<int>, int> itov(int n) // 把n用vector存起来，
{
vector<int> v;
v.push_back(0); // 让vector的下标从1开始，方便后面来做。
while (n)
{
v.push_back(n % 10); // 分出每一位
n /= 10;
}
reverse(v.begin() + 1, v.end()); // 由于目前低位在前面，翻转一下。
return { v, v.size() - 1 }; // 返回存好的 $n$ 和其最大下标，也就是长度，至于为什么要-1，因为还有个0在开头那里。
}
int solveup(int n) // 计算小于等于n的所有不降方案数
{
int res = 0;
pair<vector<int>, int> tmp = itov(n);
vector<int> num = tmp.first; // n的vector存储
int sz = tmp.second; // 长度
for (int k = 1; k < sz; k++) // 位数小于sz
{
res += up[1][k + 1];
}
for (int i = 1; i <= sz; i++) // 位数等于sz
{
int k = sz - i + 1; // 这是倒数第 $k$ 位。
int s = (i == 1 ? 1 : num[i - 1]); // 注意如果i == 1，从1开始就可以了。
if (i != 1 && num[i] < num[i - 1]) // 如果不满足了递增，那么就直接返回，注意要特判一下 i != 1
{
return res;
}
for (int j = s; j < num[i]; j++) // 加上小于这一位大于等于上一位的所有方案。
{
res += up[j][k];
}
}
return res + 1; // 记得+1
}
int solvedown(int n) // 计算小于等于n的所有不升方案数
{
int res = 0, mn = 1e18;
pair<vector<int>, int> tmp = itov(n);
vector<int> num = tmp.first; // 同上
int sz = tmp.second; // 同上
for (int k = 1; k < sz; k++) //位数小于sz
{
res += down[9][k + 1] - 1;
}
for (int i = 1; i <= sz; i++) // 位数等于sz
{
int k = sz - i + 1;
int s = (i == 1 ? num[i] - 1 : min(num[i - 1], num[i] - 1)); // 记得要取min（i == 1就别取了）
int d = (i == 1 ? 1 : 0); // 如果不是最高位，可以考虑到0
for (int j = s; j >= d; j--) // 加上小于这一位的所有方案。
{
res += down[j][k];
}
if (i != 1 && num[i] > num[i - 1]) // 如果不满足了递减，那么就不能继续认为全部顶着n的每一位了，后面就不能再算了。
{
return res;
}
}
return res + 1; // 记得+1
}
int solve__(int n) // 计算小于等于n的所有数字相同的方案数
{
int res = 0;
pair<vector<int>, int> tmp = itov(n);
vector<int> num = tmp.first; // 同上
int sz = tmp.second; // 同上
int t = (sz - 1) * 9 + num[1] - 1; // 把前两部分先加起来
for (int i = 1; i <= sz; i++)
{
if (num[i] < num[1])
{
return t; // 如果不满足每一位都大于等于最高位，直接返回t
}
}
return t + 1; // 否则返回t+1
}
void solve()
{
int n;
cin >> n;
int ans = solveup(n) + solvedown(n) - solve__(n); // 上升（包括平的）+下降（包括平的）-平的
cout << ans << '\n'; // 输出答案！用'\n'
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false); // 优化一下
cin.tie(0);
cout.tie(0);
init(); // 别忘了初始化up,down
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}
这篇题解也就这样结束了，感谢各位巨佬能够看到这里。
无耻得要赞
完结撒花！★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。
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