43 P10959 月之谜 题解

P10959 月之谜

题面

如果一个十进制数能够被它的各位数字之和整除，则称这个数为“月之数”。

给定整数 \(L\) 和 \(R\)，你需要计算闭区间 \([L,R]\) 中有多少个“月之数”。

\(1 \le L,R < 2^{31}\)

题解

这道题坑到我了，让我对数位dp的理解更深一步

一开始我设的状态为 \(f(pos, sum)\) ，但是这个状态实际上是信息不足的

因为我们最后要求这个数字能被其数位和整除，所以我们必须区分开数位和相同的数字

例如：2 和 11 ，2 是满足条件的，而 11 是不满足条件的，如果直接按照上面的状态去设，会把 11 也当成月之数

所以我们要将最后的数也记到状态里，但是因为值域太大，所以我们再记一个最后的数位和用作取模

设 \(f(pos, sum, mod, rem)\)

集合：已经填好 \(pos + 1 \sim len\) 位，填好的数的和为 \(sum\) ，最后的数位和为 \(mod\) ，当前数模 \(mod\) 为 \(rem\) ，后面任意填

值：集合中的月之数个数

状态数为 \(O(9^7)\) 左右，能过

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 12;

int a[N], f[N][90][90][90];

// f[pos][sum][mod][k]
// 集合：已经填好 pos + 1 ~ len 位，前面已经填好的数位和为 sum ，固定模数（最后的数位和）为 mod , 当前数模 mod 为 k
// 值：符合条件的数的个数


int dfs (int pos, int sum, int mod, int rem, bool limit) {
    if (!pos) return sum == mod && !rem;

    int &now = f[pos][sum][mod][rem];

    if (!limit && ~now) return now;
    int up = limit ? a[pos] : 9;

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        res += dfs (pos - 1, sum + i, mod, (rem * 10 + i) % mod, limit && (i == up));
    }
    if (!limit) now = res;
    return res;
}

int solve (int x) {
    int len = 0;
    while (x) {
        a[ ++ len] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= 88; i ++) {
        res += dfs (len, 0, i, 0, 1);
    }
    return res;
}

int main () {
    memset (f, -1, sizeof f);
    int l, r;
    while (cin >> l >> r) {
        if (l > r) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        cout << solve (r) - solve (l - 1) << endl;
    }

    return 0;
}