41 Connected Graph 题解

Connected Graph

题面

求 \(n\) 个节点的有标号连通无向图个数

\(1 \le n \le 1000\) ，答案对 \(1004535809\) 取模

题解

题目要求的是连通无向图，正难则反，考虑用总数量减去不连通图的个数

考虑如何给不连通图分类使得不重不漏的统计到所有情况

我们可以按照 1 号节点所在连通块大小来分类，每种情况互斥，并且能够统计到所有情况

设 \(f(i)\) 表示 \(i\) 个点的连通无向图个数

\[f(i) = 2^{i \times (i - 1) / 2} \sum_{j = 1}^{i - 1} f[j] \times \binom {i - 1} {j - 1} \times 2^{(i - j) \times (i - j - 1) / 2} \]

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