23 LCA模拟赛2T2 异或排列 题解

Fast XORting

题面

给定一个 \(2\) 的整数次幂 \(n\) 以及一个 \(0 \sim n - 1\) 的排列 \(a_1, a_2, \cdots a_n\)。

在一次运算中，你可以进行以下两种操作之一：

• 交换两个相邻元素
• 选择任意整数 \(0 \le x \le n - 1\) ，将每个 \(a_i\) 都替换为 \(a_i \oplus x\)

求将该排列从小到大进行排序的最小运算次数。

\(1 \le n \le 2^{18}\)

题解

首先观察题目操作的性质，不难发现，第一个操作相当于在求逆序对数，第二个操作至多只会进行一次。

朴素的想法是枚举每个 \(x\) ，异或后跑一遍归并排序，时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)。

我们要求逆序数实际上就是要比较两个数的大小关系。那么对于任意的两个数，它们的大小关系只会由从高到低第一个不同的二进制位决定，所以我们可以分开考虑每个二进制位。

对于每个二进制位，我们尝试异或后的逆序数少还是异或前的逆序数少，从而得到一个最优的 \(x\) 使得逆序数最少。

时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

namespace michaele {

    typedef long long ll;

    const int N = 262200;

    int n, m;
    int a[N], b[N], c[N];
    ll res;

    // 归并排序求逆序对数
    void work (int l, int r) {
        if (l == r) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        work (l, mid);
        work (mid + 1, r);
        {
            int i = l, j = mid + 1, k = l;
            while (i <= mid && j <= r) {
                if (b[j] < b[i]) {
                    res += mid - i + 1;
                    c[k ++ ] = b[j ++];
                } else {
                    c[k ++ ] = b[i ++];
                    
                }
            }
            while (i <= mid) c[k ++] = b[i ++];
            while (j <= r) c[k ++] = b[j ++];
        }
        for (int i = l; i <= r; i ++) {
            b[i] = c[i];
        }
    }

    void solve () {
        cin >> m;
        n = __lg(m);
        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            cin >> a[i];
        }

        res = 0;
        memcpy (b, a, sizeof a);
		work (0, m - 1);
		ll ans = res;
		
		int x = 0;
    	for (int i = 0; i < n; i ++) {
    		memcpy (b, a, sizeof a);
			for (int j = 0; j < m; j ++) {
				b[j] ^= (1 << i);
			}
			res = 0;
			work (0, m - 1);
			if (res < ans) x ^= (1 << i);
		}
		
		memcpy (b, a, sizeof a);
		for (int j = 0; j < m; j ++) {
			b[j] ^= x;
		}
		res = 0;
		work (0, m - 1);
		ans = min (ans, res + 1);
        cout << ans << endl;
    }
}

int main () {
    
    ios :: sync_with_stdio (0);
    cin.tie (0);
    cout.tie (0);
    michaele :: solve ();

    return 0;
}