21 ACwing 289 环路运输 题解

环路运输

题面

在一条环形公路旁均匀地分布着 N 座仓库，编号为 1∼N，编号为 i 的仓库与编号为 j 的仓库之间的距离定义为 \(dist(i,j)=min(|i−j|,N−|i−j|)\)，也就是逆时针或顺时针从 i 到 j 中较近的一种。

每座仓库都存有货物，其中编号为 i 的仓库库存量为 \(A_i\)。

在 i 和 j 两座仓库之间运送货物需要的代价为 \(A_i+A_j+dist(i,j)\)。

求在哪两座仓库之间运送货物需要的代价最大。

\(2 \le N \le 10^6\)

\(1 \le A_i \le 10^7\)

题解

这道题朴素的枚举是 \(O(N^2)\) ，所以要优化

因为题目给定的实际上是个环形结构，那么我们可以将其转化成一个线性结构，也就是常用的断环为链技巧复制一倍放末尾

那么对于 \(1 \le j < i \le N \times 2\)

当 \(i - j \le \frac N 2\) 那么 \(dist(i,j) = i - j\)

否则就对应着在 \(j + N \to i\) 之间的距离，也就是 \(N + j - i = N - (i - j) < \frac N 2\)

这样问题就变成了在一个长度为 \(2N\) 的序列上找到满足 \(1 \le j < i \and i - j \le N / 2\) 的 \(i,j\) 中 \(A_i + A_j + i - j\) 的最大值

所以我们可以枚举 \(i\) ，求出 \(\max_{i - \frac N 2 \le j < i} \{ A_i + A_j + i - j \} = \max_{i - \frac N 2 \le j < i} \{ A_j - j \} + A_i + i\) ，用单调队列即可 \(O(N)\) 求解

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;

int n, a[N];
int q[N];

int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = n + 1; i <= n * 2; i ++) {
        a[i] = a[i - n];
    }
    int ans = 0;
    int h = 1, t = 0;
    for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
        while (h <= t && q[h] < i - n / 2) h ++;
        if (h <= t) ans = max (ans, a[i] + i + a[q[h]] - q[h]);
        while (h <= t && a[q[t]] - q[t] < a[i] - i) t --;
        q[++t] = i;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}