18 ACwing 286 选课 题解

选课

题面

学校实行学分制。

每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。

学校开设了 N 门的选修课程，每个学生可选课程的数量 M 是给定的。

学生选修了这 M 门课并考核通过就能获得相应的学分。

在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其他的一些课程的基础上才能选修。

每门课的直接先修课最多只有一门。

两门课可能存在相同的先修课。

你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修条件。

\(1 \le N \le 300, 1 \le M \le N\)

题解

因为每个节点都至多有一个父亲节点，所以这 \(N\) 个节点形成了一个森林，为了方便我们可以建一个虚拟源点 0 号节点，作为那些树的根节点的父节点，这样的话，除了我们的虚拟源点，其他节点都是有父亲的，且都是要先选父亲才能选儿子

假如现在给当前节点的容量为 \(t\)

有

\[f(x,t) = max \{ \sum_{y \in son_x} f(y,c_y) \} + score(x) \]

那么这个实际上就是一个分组背包问题

共有 \(|son_x|\) 组，每组有 \(t - 1\) 个物品，每组只能选择不超过一个物品

时间复杂度 \(O(nm^2)\)，上下界优化时间复杂度 \(O(nm)\)

code

普通版本

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 310;

int n, m, val[N];
int f[N][N];
int h[N], ver[N], ne[N], tot;

void add (int x, int y) {
    ver[++tot] = y;
    ne[tot] = h[x];
    h[x] = tot;
}

void dfs (int x) {
    f[x][1] = val[x];
    for (int i = h[x]; i; i = ne[i]) {
        int y = ver[i];
        dfs (y);
        for (int j = m; j >= 0; j--) {
            for (int k = 0; k < j; k ++) {
                f[x][j] = max (f[x][j], f[x][j - k] + f[y][k]);
            }
        }
    }
}

int main () {
    cin >> n >> m;
    m ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int fa;
        cin >> fa >> val[i];
        add (fa, i);
    }
    dfs (0);
    cout << f[0][m] << endl;

    return 0;
}

上下界优化版本

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 310;

int n, m, val[N], siz[N];
int f[N][N];
int h[N], ver[N], ne[N], tot;

void add (int x, int y) {
    ver[++tot] = y;
    ne[tot] = h[x];
    h[x] = tot;
}

void dfs (int x) {
    f[x][1] = val[x];
    siz[x] = 1;
    for (int i = h[x]; i; i = ne[i]) {
        int y = ver[i];
        dfs (y);
        /*
        j <= siz[x] + siz[y];
        j >= w[x];
        k <= siz[x];
        j - k <= siz[y];
        j - k >= w[y];
        */
        for (int j = min (siz[x] + siz[y], m); j >= 1; j--) {
            
            for (int k = max (j - siz[y], 1); k <= min (siz[x], j - 1); k ++) {
                f[x][j] = max (f[x][j], f[x][k] + f[y][j - k]);
            }
        }
        siz[x] += siz[y];
    }
}

int main () {
    cin >> n >> m;
    m ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int fa;
        cin >> fa >> val[i];
        add (fa, i);
    }
    dfs (0);
    cout << f[0][m] << endl;

    return 0;
}