5 ACwing 275 传纸条 题解

传纸条

题面

给定一个 \(N \times M\) 的矩阵 \(A\) ，每个格子中都有一个整数。现在需要找到两条从左上角 \((1, 1)\) 到右下角 \((N, M)\) 的路径，路径上的每一步只能向右或者向下走。路径经过的格子中的数会被取走，若两条路径同时经过一个格子，格子中的数只会被算一次，求取得的数最大是多少？

\(N,M \le 50\)

题解

首先确定 dp 的阶段，考虑路径形成的过程，我们需要从左上角开始一步一步考虑两条路径如何走，所以阶段就是当前走了几步

有一个比较好想出来的 dp 状态 \(f(x_1,y_1,x_2,y_x)\) 第一条路径走到了 \((x_1,y_1)\) ，第二条路径走到了 \((x_2,y_2)\) 的最大价值，时间复杂度 \(O(n^2m^2)\) ，因为 \(n,m\) 都比较小，所以也可以过

考虑能否减少冗余维度，发现 \(y_1,y_2\) 其实可以由 \(i\) 和 \(x_1,x_2\) 推出来，有以下等式

\[x_1+y_1 = x_2 + y_2 = i + 2 \]

于是我们可以只记 \(x_1,x_2\) ，设 \(f(i,x_1,x_2)\) 表示走了 \(i\) 步，第一条路径走到第 \(x_1\) 行，第二条路径走到了第 \(x_2\) 行，取数的最大价值

转移要考虑下一步两个位置会不会重合，如果重合，那么贡献只算一次，否则贡献算两次，然后四种情况分别转移即可，时间复杂度 \(O((n + m)n^2)\)

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 55;

int n, m;
int a[N][N];
//f[i][x1][x2] 表示走了 i 步，第一条路径在第 x1 行，第二条路径在第 x2 行的最大价值
int f[N << 1][N][N];


int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n + m - 2; i++) {
        for (int x1 = 1; x1 <= min (i + 1, n); x1 ++) {
            for (int x2 = 1; x2 <= min (i + 1, n); x2 ++) {
                int val = a[x1][i + 2 - x1];
                /*
                这里不用考虑有某个点路径1先经过，路径2后经过
                因为两条路径到这个点的距离相同
                只会出现同时经过、一个经过一个不经过、两个都不经过三种情况，不会出现一个先经过，另一个后经过
                */
                if (x1 != x2) val += a[x2][i + 2 - x2];
                auto &now = f[i][x1][x2];
                now = max (now, f[i - 1][x1 - 1][x2 - 1] + val);
                now = max (now, f[i - 1][x1 - 1][x2] + val);
                now = max (now, f[i - 1][x1][x2 - 1] + val);
                now = max (now, f[i - 1][x1][x2] + val);
            }
        }
    }

    cout << f[n + m - 2][n][n] << endl;

    return 0;
}