2 ACwing 272 LCIS 最长公共上升子序列 题解

ACwing 272 LCIS 最长公共上升子序列

题面

对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列

给定序列 \(A\) 和 \(B\) ，求 \(A\) 和 \(B\) 的最长公共上升子序列

\(|A,B| \le 3000\)

题解

设 \(f(i,j)\) 表示 \(A_1...A_i\) 和 \(B_1...B_j\) 以 \(B_j\) 为结尾的 LCIS ，可以分两种情况转移

• \(A_i \not= B_j\) ，\(f(i,j) = f(i - 1, j)\)
• \(A_i = B_j\) ，\(f(i,j) = \max_{k < j,B_k < B_j} \{f(i - 1, k)\} + 1\)

转移的候选状态集合是只增不减的，所以可以用一个变量维护，转移时间复杂度降为 \(O(1)\) 总时间复杂度为 \(O(n^2)\)

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 3e3 + 10;

int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int val = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (a[i] == b[j]) {
                f[i][j] = val + 1;
            } else {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
            if (b[j] < a[i]) val = max (val, f[i - 1][j]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max (ans, f[n][i]);
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}