点分治引入

点分治

前言

点分治，顾名思义，就是按照点去分治

其主要解决路径统计问题，例如两个点间距离不超过 \(k\) 的路径有多少条

这东西难起来还是挺难的

算法流程

上面我们也说到了，其主要解决的是路径统计问题，也就是树上满足某种条件的路径条数

给个情景，给定一个树，求长度为 \(k\) 的路径有多少条，\(n \le 10^5\)

• 统计经过当前根的路径有多少条，只需要从前往后遍历每棵子树，将子树内的点加入桶

  遍历一棵子树时，设 \(dis_x\) 表示当前点到当前根的距离，在桶中查询有多少个 \(k - dis_x\) 将其加入答案即可

• 将当前根删除，递归计算其子树

这样为什么可以不重不漏地统计到所有路径？

每条路径都由不少于两个点组成，而这些点中必然有一个点会被当做根，因为只有仅剩一个点时，这个点才不会被当做根统计答案，否则一定会选出一个根

每条路径只会在这时被统计到，并且在删除这个根后，这条路径就不可能再被统计到

这样的时间复杂度最劣为 \(O(n^2)\) ，当树为一条链时，就会变成 \(O(n^2)\)

所以我们需要自己选择选择哪个点做根，我们希望子树大小尽可能小，这样我们递归下去的时间复杂度就会更优

以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一

因为重心满足我们所需要的性质，所以每次选择重心为根，每次子树大小至少减半，所以最多只会递归 \(O(\log n)\) 层，总时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ，流程加个找重心作为根，其他不变

例题

点分治模板

聪聪可可

tree

race

digit tree