四元数教程

四元数（Quaternion）是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年创立出的数学概念。通常记为H，或 H {\displaystyle \mathbb {H} }。 从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数则代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。 i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

四元数（Quaternion）计算是机器人学、计算机图形学和航空航天等领域的重要数学工具。以下是为您整理的体系化学习路径，结合理论与实践：

一、四元数核心概念

1. ​​基本定义​​

   • 四元数形式：q = w + xi + yj + zk（w为实部，x,y,z为虚部）
   • 单位四元数：w² + x² + y² + z² = 1（用于旋转表示）

2. ​​与旋转的关联​​

   • 比欧拉角更高效：避免万向节锁问题
   • 比旋转矩阵更紧凑：仅需4个参数 vs 矩阵的9个参数

二、关键计算操作（附代码实现）

1. ​​基本运算​​（Python示例）

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation as R

# 创建四元数 (w,x,y,z顺序)
q1 = R.from_quat([0.707, 0, 0, 0.707]).as_quat()  # 绕x轴旋转90度

# 四元数乘法（旋转叠加）
q2 = R.from_rotvec(np.pi/2 * np.array([0, 1, 0])).as_quat()  # 绕y轴旋转90度
q_composite = (R.from_quat(q1) * R.from_quat(q2)).as_quat()

2. ​​旋转向量转换​​

# 旋转向量 -> 四元数
rot_vec = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
q = R.from_rotvec(rot_vec).as_quat()

# 四元数 -> 旋转矩阵
rot_matrix = R.from_quat(q).as_matrix()

三、典型应用场景

1. ​​机器人姿态插值​​

   • SLERP（球面线性插值）实现平滑旋转过渡：

   q_start = R.from_euler('z', 30, degrees=True).as_quat()
   q_end = R.from_euler('z', 60, degrees=True).as_quat()
   t = 0.5  # 插值比例
   q_interp = R.from_quat(q_start).slerp(q_end, t)

2. ​​IMU数据处理​​

   • 陀螺仪积分获得姿态：

   delta_angle = gyro_data * dt  # 角速度积分
   delta_q = R.from_rotvec(delta_angle).as_quat()
   current_q = (R.from_quat(prev_q) * R.from_quat(delta_q)).as_quat()

四、学习资源推荐

1. ​​交互式工具​​

   • 3Blue1Brown《四元数与三维旋转》可视化教程（B站可搜）
   • Quaternion Calculator在线计算器

2. ​​经典文献​​

   • 《Quaternions and Rotation Sequences》（Jack B. Kuipers）
   • NASA技术报告《Euler Angles, Quaternions, and Transformation Matrices》

3. ​​编程实践​​

   • ROS 2的tf2库四元数工具
   • Eigen库的Quaternion类（C++）

五、常见误区提醒

1. ​​约定差异注意​​：

   • 不同库的存储顺序可能不同（w在前或xyz在前）
   • ROS使用Hamilton约定，Unity使用JPL约定

2. ​​计算稳定性​​：

   • 定期归一化防止数值误差累积：

   q /= np.linalg.norm(q)  # 归一化处理

建议从2D旋转理解复数开始，逐步过渡到3D旋转的四元数表示。实际开发中推荐使用成熟的数学库（如Eigen、SciPy），避免重复造轮子。