负能量的二分图

正能量的二分图。

负能量的二分图。

无能量的二分图。

jr。
nb。

咕咕嘎嘎。

咕咕嘎嘎灵感菇。

https://mzh.moegirl.org.cn/梦良衣

P1963 [NOI2009] 变换序列

第一课堂主讲人：我。

考虑

我不会做。

P9726 [EC Final 2022] Magic

第一课堂主讲人：wxir。

有人写了题解，说 ISAP 能过。wxir 说不能过。

到底谁说的对？？？

#14602. Blackboard Game

第一课堂主讲人：jr_zch。

二分图博弈。存在 \(st\)，满足它不是最大匹配关键点。而且 \(st\) 是偶数。

\(O(n^2\log\log n)\)。建图，跑匈牙利。最大匹配。找关键点。\(n\) 很大。

先说结论：若 \(n\geq 100\)，先手必应！！！\(st\) 为 \(\leq \frac{n}{3}\) 的最大质数的两倍。怎么发现？？？不知道。。。

怎么证明？？？有三个质数 \(a,b,c\)，\(3a,3b,3c\leq n\)，\(4a,4b,4c>n\)。把图画出来。

jr。

#3269. 「COCI 2020.3」Skandi

第一课堂主讲人：PhainonK。

这个题是个板题。

讲得好。

#8128. Alternating Paths

第一课堂主讲人：nodgd。

题意：给了你一个无向图，把边染成红色或蓝色，使得任意两点之间都有颜色交替出现的路。无解输出无解，否则构造一种染色方案。\(n\leq 100,m\leq 300,t\leq 1000\)。但是大数据不超过 \(100\) 组，大数据定义为 \(n>50\) 或 \(m>150\) 的数据。

checker 可以 BFS 做到 \(O(n(n+m))\)。

首先我们发现，如果这个图呢，它是一个，我们先考虑树的情况，有三叉点，很糟糕。有环？偶环，很好，交替染色，很糟糕，两个方向，取反。

偶环套偶环，好好好。二分图边双，缩点。如果有三根及以上线，爆爆爆。

这是 Case 1。

翻车了。

黄边+割边。什么时候合法？

翻车了。nodgd 说 std 写了一千多行。“隔”是双连通的。二分图边双。好(坏)题啊。

评分：0.10/10。垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题垃圾题。

Case 2。Case 3-1。Case 3-2。

这个题有点垃圾！！！

UPD：我要写随机化了，觉得能过的扣一。

D - Anti-Plagiarism

第二课堂主讲人：我。

寄。

F - Degree Harmony

第二课堂主讲人：Austin_Griffin。

\(d_i=A_i\) 怎么做？

建图，\(x\) 建 \(A_x\) 个虚点。每条边建两个虚点，这两个虚点间连一条边。对于边 \((u,v)\)，将 \(u\) 的虚点均连向边虚点 \(1\)，将 \(v\) 的虚点均连向边虚点 \(2\)。有完美匹配，就赢了。

\(d_i\leq A_i,d_i \equiv A_i \pmod 2\) 怎么做？

可以让 \(A_i\) 减去若干个 \(2\)。让点虚点两两连边。带花树。Tutte 矩阵。有没有一般图最大匹配。

看 OI-wiki。

好题啊！！！！！（为啥。）

每条边建了两个点。总点数是 \(2m+\sum A_i\)。\(m\) 是 \(O(n^2)\) 级别的。优化点数。不建虚点。哦~对。怎么优化？？？？？\(A_i=d_i\)。不用建虚点，是对的！！！复杂度 \(O(n^3)\)。小细节：最后那个矩阵多设了一个元，每个元是 \(A+By\)，求行列式，\(O(n^3)\)。好耶！！！

禁止好耶。

禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止禁止禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止禁止禁止禁止禁止好耶。

禁止禁止禁止禁止禁止禁止禁止禁止好耶。

J - 魔法卷轴

第二课堂主讲人：Aaron_Romeo。

前年贾老师模拟赛，一场 NOIP 还是 CSP，模拟赛里面，数据范围 \(n=\) 什么，\(m=\) 什么，\(k=\) 什么。数据范围有奇妙的性质。满行不超过 \(10\) 行，状压神秘 DP。发现可以用高斯消元去理解这个东西，胡出来一个很抽象的做法。这个矩阵里面每个方格看成一个元，\(k\) 个限制，每行每列，\(n+m+k\) 个式子，\(nm\) 个不同的元。假如说，范围很小，高斯消元求出有用的式子的个数，积求出来，\(nm\) 减去，\(2^{nm-Aaron}\) 次方。

？？？还是不对。

以上都是故事背景。。。。。

行列二分图，格子看成连边。完全二分图。什么意思？是 \(0\) 还是 \(1\)。染色。方案数？？？它是一棵树。剥叶子。对，很好。对对对对对。有解？无解？可以判定。二分图上，是若干个树，一个森林加若干边。不耽误做这个题。判断有没有解，都有解。不重要，随便染色，什么时候有解？？？

以下是正解。

把 \(n\) 个行点拉出来，把 \(m\) 个列点拉出来。若 \((i,j)\) 不确定，则在行点 \(i\) 和列点 \(j\) 之间连一条边。于是整个二分图形成了若干个连通块，显然每个连通块的染色方案数独立。我们想给边赋 \(0\) 或 \(1\) 的权值，使得每个点连接的边的异或和为 \(c_i\)（已经确定的边可以通过改变 \(c_i\) 来实现）。

先考虑一棵树的染色方案。设该树为 \(T\)。剥叶子，从下往上填。发现只有可能对于根节点来说不合法。考虑刻画合法的充要条件。发现若 \(\bigoplus\limits_{i\in T} c_i=0\)，则该树合法。为啥呢。假设我满足了所有非根节点的条件，得到了根节点连边异或和的真实值为 \(d\)。于是肯定有 \(d\oplus \bigoplus\limits_{i\in T,i\neq \text{Root}(T)} c_i=0\)，因为每条边会被计算两遍。又因为 \(c_1=d\) 时合法，所以可以推导出所有满足条件的方案都有 \(\bigoplus\limits_{i\in T}c_i=0\)。这是必要性。充分性反着分析一下就行了，正确性显然。

如果连通块不是一棵树，那么我们可以找出一棵生成树，并给非树边任意赋权。发现这个赋权对 \(\bigoplus\limits_{i\in T} c_i\) 毫无影响。于是一个点数为 \(x\)，边数为 \(y\) 的连通块，若其 \(\bigoplus\limits_{i\in T}c_i=1\)，则方案为 \(0\)，否则为 \(2^{y-x+1}\)。

乘起来，发现是 \(2^{nm-k-n-m+cnt}\)（如果每个连通块都合法）。其中 \(cnt\) 是连通块个数。于是直接并查集维护一下就可以了吧。

G - 祭祀

第二课堂主讲人：i_love_xqh。

第一种建模。好题啊。地理窝丝定理。

第二种建模。好题啊。汪希哎尔定理。

H - Zigzag Game

第二课堂主讲人：TLE_AK。

*3500。

题意：给出一个左部点个数为 \(n\)，右部点个数也为 \(n\) 的完全二分图，其中 \(a_{i,j}\) 代表左部点 \(i\) 连向右部点 \(j\) 的双向边的边权，保证 \(a_{i,j}\) 互不相同。Alice 和 Bob 要进行博弈。最开始，Alice 要在 \(\texttt{I}\) 和 \(\texttt{D}\) 里选一个，Bob 自动选择另外一个。同时，Alice 需要将一枚棋子放在一个起点上，然后 Bob 先手进行二分图博弈，最先不能操作的人输掉。除了不能访问访问过的节点外，还有额外限制：选择 \(\texttt{I}\) 的人下一步走的边的边权必须严格大于棋子所经过的上一条边的边权，选择 \(\texttt{D}\) 的人则是严格小于。Bob 走的第一步没有限制。

现在，你需要和交互库博弈。你可以选择初始身份，如果选择的是 Alice，还可以选择 \(\texttt{I}\) 或 \(\texttt{D}\)。赢了就是过了。多测，\(T\leq 50,n\leq 50\)。

这题考察对二分图博弈的本质理解。如果你没有理解本质，你就做不了。然而我并没有理解二分图博弈的本质。我改悔罢。

容易发现的是，假如不考虑边权，那么原图一定有完美匹配，所以所有点都是关键点。那 Bob 就有必胜策略了。不妨猜想，加上边权的限制，Bob 依然有必胜策略。

假设 Alice 选择了 \(\texttt{I}\)。如果 Alice 选择了 \(\texttt{D}\)，可以直接翻转边权。二分图博弈的本质是什么？

先手从一个最大匹配关键点出发。并且 TA 手上有一个最大匹配。现在，先手沿着匹配边走一步，从 \(u\) 走到 \(v\)，点 \(u\) 被删去，得到新图 \(G'\)。设先手手上的最大匹配为 \(M\)，那么 TA 可以将 \(M\) 减去 \((u,v)\)，得到 \(M'\)。\(M'\) 里的边上都没有 \(v\)，因此 \(v\) 不是一个最大匹配关键点。
然后后手走一步，从 \(v\) 走到 \(v'\)，点 \(v\) 被删去，得到 \(G''\)。其中 \(v'\) 一定是 \(G''\) 的关键点。为啥呢？假设它不是，我们再把 \(v\) 加回来，发现可以加上 \((v,v')\) 这条边作为匹配边，于是就矛盾了。
反正显然就对了。不想写了。

在这个博弈中，我们也可以准备一个最大匹配，作为我们的策略。它必须要满足这样的条件：对于匹配边 \((a,b),(c,d)\)，假如我们走完 \((a,b)\) 后，对面能走 \((b,c)\)，那我们也必须能走 \((c,d)\)。这个条件似乎有点奇怪。如果我们先走了 \((c,d)\)，那这个条件是不是就不一定要满足了呢？不过先放在哪是由 Alice 决定的，如果她把棋子放在 \(a\)，且这个条件不满足，那我们就输了。总而言之能证明这是充要的。再改写一下，就是不存在 \(w(a,b)<w(b,c)<w(c,d)\)。（这里就用 \(w(u,v)\) 表示 \(a_{u,v}\) 了。）

于是我们胜利的条件就是：存在一个原图的完美匹配 \(M\)，其中不存在不同的两条边 \((a,b)\) 和 \((c,d)\)，满足 \(w(a,b)<w(b,c)<w(c,d)\)。按照左右点分一下，就是 \(w(a,b)<w(c,b)<w(c,d)\)。（假设 \(a\) 是左部点。）于是发现这就是一个稳定婚姻问题：对于左部点来说，权值更小的边更优（即，对 \(c\) 来说，\(w(c,b)<w(c,d)\)，则 \(b\) 优于 \(d\)）。对于右部点来说，权值更大的边更优（即，对 \(b\) 来说，\(w(a,b)<w(c,b)\)，则 \(c\) 优于 \(a\)）。那么，原条件就变为，不存在 \((a,b),(c,d)\)，使得 \(b\) 觉得 \(c\) 更优，\(c\) 觉得 \(b\) 更优。

稳定婚姻问题怎么做？

看 OI-Wiki。

把这个完美匹配拿出来，然后就做完了。时间复杂度 \(O(Tn^2)\)。

需要注意的是，上述分析建立在起点为左部点的起点下。如果起点为右部点的话，那么就应该是 \((b,a)\) 走到 \((a,d)\) 再走到 \((d,c)\) 了。其中 \(b\) 是右部点，\(a\) 是左部点。不合法条件就变为 \(w(b,a)<w(d,a)<w(d,c)\)，然后对于左部点来说，权值大更优，对于右部点来说，权值小更优。可能有点抽象，但起点在哪边貌似真的有影响，因为经过匹配边的方向不同了。不过这显然是对称的，所以翻转一下就行了。

好耶。

不对，有排序。不过可以鸡排。但是不用管，时间复杂度 \(O(Tn^2\log n)\)，不影响。

I - Goblins And Gnomes

第二课堂主讲人：nikangle。

好题啊，问希儿，TA 会做。

什么玩意儿。玩意儿什么。权值最大值。

觉之瞳。对。对。对。对。对。对。对。对。对。对。对。对。抵挡进攻！

??? - ???

第?课堂主讲人：??。

哇哦。哈哈哈哈哈。嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿。呼呼呼呼呼哈哈哈哈哈。哇啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。哼哼哼哼呵呵呵呵呵啊哈哈哈哈哈。吼吼吼吼吼吼呼呼呼呼哈哈哈哈哈哇哦呼呼呼哈哈哈哈哈嘿嘿嘿呼呼哈哈哈呼呼哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈。

我到底在写什么。又浪费一篇文章。