互测赛（4）总结

0.前言

其实是 KTT 学习笔记。

1.正文

KTT，全称 K什么 T什么 T什么，主要用来解决区间加正数，求区间最大子段和问题。

如果没有修改操作，这个东西是好做的。我们直接使用线段树，每个节点维护当前节点的区间和，区间最大子段和，最大前缀和和最大后缀和。设其分别为 \(sum,val,lmax,rmax\)。pushup 是简单的：

• \(p.sum=ls.sum+rs.sum\)。
• \(p.lmax=\max(ls.lmax,ls.sum+rs.lmax)\)。
• \(p.rmax=\max(rs.rmax,rs.sum+ls.rmax)\)。
• \(p.val=\max(ls.val,rs.val,ls.rmax+rs.lmax)\)。

这样就可以做到 \(O(n+q\log n)\) 的时间复杂度。

如果有区间加正数的操作，这个问题就变得相当困难了。

（Mortis尖叫.jpg）

假设，现在给某个区间加了 \(d\)，并且取 \(\max\) 时决策不变，那么 \(val\) 就会变成 \(val+d\times Len\)。其中 \(Len\) 是最大子段和对应的区间的长度。

不过这样的情况并不会经常出现。但是这是有启发性的。我们可以把 \(val+d\times Len\) 看作一个和 \(d\) 相关的一次函数。那么每次 pushup 时就是一次函数取 \(\max\)（这里是根据 \(d=0\) 时的取值来取 \(\max\)，原因待会就能理解）。

如何解决决策变化的问题？通过计算一次函数的交点，我们可以得到一个阈值 \(x\)，它表示当前节点在 \(d\geq x\) 时，\(lmax,rmax,val\) 中就会有至少一个一次函数的取值（就是 pushup 时 \(\max\) 取的是哪个一次函数）变化。如果现在加入的 \(d < x\)，那么就可以直接将所有一次函数的 \(b\) 值更新，这相当于我们对一次函数进行了向左平移。也就是说，\(x\) 值也要减去 \(d\)。

否则，直接往两边递归，直到发现某一个子树满足其 \(d < x\)。这就相当于一次函数平移后，我们的一次函数交点已经移到 \(0\) 之前了。那我们钦定按照位置 \(0\) 的值取 \(\max\) 就不行了，需要重新计算。你会发现，这里的一次函数在正常时取值就应该是 \(0\) 位置的取值（即答案），将其变成一次函数只是为了方便我们进行修改操作。更新完子树后再 pushup 就行了。

因为当前一次函数的决策和子树的一次函数有关，所以当子树的一次函数变化时，当前节点的一次函数也可能变化。也就是说，\(x\) 也需要 pushup，并且在 pushup 时需要和 \(ls.x\) 与 \(rs.x\) 取 \(\min\)。除此之外，还需要计算当前节点三个决策中各个一次函数的交点，然后再取 \(\min\)。然后维护一下一次函数就做完了。

看着很暴力，但是时间复杂度其实是三个 \(\log\) 的。不会分析。

写的啥呀。