推式子题

我为什么要开，这么多，很难填的坑。

P4451 [国家集训队] 整数的lqp拆分

首先，斐波那契的生成函数是好求的。设 \(FIB(x) = \sum\limits_{i=0}^{+\infty} F_i x^i\)，那么通过 \(x FIB(x)\) 和 \(x^2 FIB(x)\) 的一些操作，就可以得到 \(FIB(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)。

然后枚举一个 lqp 的拆分恰好拆分成了 \(k\) 个数，容易发现答案的生成函数是 \(G(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}F(x)^k\)。这是一个 \(\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k\) 的形式，显然等于 \(\frac{1}{1-F(x)}\)。代入计算，得到 \(G(x)=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}=1+\frac{x}{1-2x-x^2}\)。

现在我们需要知道 \(G(x)\) 展开式第 \(n\) 项的系数，也就是要展开 \(\frac{x}{1-2x-x^2}\)，我们将其平凡地展开，使用待定系数法，设 \(\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}=\frac{x}{1-2x-x^2}\)，能解得一堆东西。为什么要这样展开呢？因为 \(\frac{A}{1-ax} = A\sum\limits_{i=0}^{+\infty} (ax)^i\)，所以它对第 \(n\) 项的系数贡献就是 \(A+a^n\)。所以我们要求的就是 \(A+B+a^n+b^n\)，然后就做完了。这样的展开方法是很通用的，需要记牢。

P6031 CF1278F Cards 加强版

有 \(m\) 张牌，其中有一张是王牌。将这些牌均匀随机打乱 \(n\) 次，设有 \(x\) 次第一张为王牌，求 \(x^k\) 的期望值。

答案对 \(998244353\) 取模。\(1\leq n,m \leq 998244352,1\leq k\leq 10^7\)。

先写出，简单的式子。枚举有 \(i\) 次第一张为王牌，那么显然，\(ans=\sum\limits_{i=0}^n C_n^i \left(\frac{1}{m}\right)^i\left(1-\frac{1}{m}\right)^{n-i} i^k\)。这个式子是 \(O(n)\) 的，做不了。主要原因是这个 \(i^k\) 很烦人。由于 \(n\) 大 \(k\) 小，考虑将 \(i^k\) 展开成下降幂形式。

这里需要用到 Sitilrintirignirngig 数相关知识。我们设 \(G(i)\) 表示 \(n\) 个球放在 \(i\) 个两两不同的盒子里的方案数（允许空盒子），\(F(i)\) 表示 \(n\) 个球放在 \(i\) 个两两不同的盒子里的方案数（不允许空盒子）。