SUS Array

SA

SA，后缀数组，对所有后缀进行排序的数组。
数组不止一个。\(sa_i\) 表示字典序第 \(i\) 小的后缀的编号，\(rk_i\) 代表后缀 \(i\) 的排名。
可以做到 \(O(n)\)，但不是特别实用。有小常数 \(O(n\log n)\) 倍增做法，是好的。
有便于理解的辅助数组 \(RK_{i,j}\) 表示所有长度为 \(2^i\) 的子串中，\([j,j+2^i-1]\) 的排名。为了避免特判数组可以开两倍长度，如果 \([j,j+2^i-1]\) 为空，\(RK_{i,j}\) 为 \(-\infty\)。
发现求出 \(RK_i\) 的所有值后，想要求出 \(RK_{i+1}\) 只需要做一遍双关键字排序。因为值域小所以可以做基数排序。

下面对 OI-wiki 的代码做一下注释。

for (int i = 1; i <= n; i++) cnt[rk[i] = s[i]]++;
for (int i = 1; i <= m; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
for (int i = n; i >= 1; i--) sa[cnt[rk[i]]--] = i;

这是第一轮排序，只用按单字符排，是一个普通的计数排序。稍加思考，发现 \(sa\) 的下标是小于等于某个后缀 \(rk\) 的后缀个数。因为从大到小遍历，所以保证了稳定性。

int cur = 0;
for (int i = n - w + 1; i <= n; i++) id[++cur] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++)
  if (sa[i] > w) id[++cur] = sa[i] - w;

这是当前忽悠化。这里优先按照了第二个关键字排序，因为在这里，从后往前的基数排序要好一些。第一个 for 循环的意思是，对于 \([n-w+1,n]\) 这些后缀(\(w\) 是上一轮排序的长度)，它们是没有第二个关键字的，所以它们的 \(rk\) 是 \(-\infty\)，应该放在前面。
第二个 for 循环就是在正常根据前面的结果放入了：\(rk_i\) 其实就是 \([i-w,i+w-1]\) 第二个关键字的 \(rk\)。
\(id\) 是按第二个关键字排序后的值。太显然了。

for (int i = 1; i <= n; i++) cnt[rk[i]]++;
for (int i = 1; i <= m; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
for (int i = n; i >= 1; i--) sa[cnt[rk[id[i]]]--] = id[i];

这是在保证稳定性的情况下按照第一个关键字排序。事实上，这个 \(id\) 就是为了保证稳定性而存在的。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (oldrk[sa[i]] == oldrk[sa[i - 1]] &&
    oldrk[sa[i] + w] == oldrk[sa[i - 1] + w])
    rk[sa[i]] = p;
else
    rk[sa[i]] = ++p;
}

因为要保证相同串的排名一样，需要在这里单独处理排名。（如果相同串的排名不一样，就无法按照第二个关键字排序，从而会导致排序错误。）