信号分析与处理——傅里叶分析前言

　　展开成傅里叶级数的基本目的是要把一个信号（时间变量t的函数）分解为不同的频率分量。这些基本的构造块是正弦函数和余弦函数

sin(nt),cos(nt),

其振荡频率为2n∏。例如，考虑下面的函数：

ft(t)=sin(t)+2*cos(3*t)+0.3*sin(50*t)

其振荡频率为1,、3和50。f(t)如图：

 

如何滤除图形的毛糙？

 

没有高频抖动，同f的图形几乎一样

于是该例子显示了一个滤除噪声的方法，该方法就是把信号f(t)用正弦和余弦信号展开：

 

 

然后忽略掉（令其为0）与滤除频率相应的系数。对本例中的这个信号f，因为它已经表示成了正弦和余弦信号的和的形式，所以处理过程很容易。然而，大多数信号不是以这种方式表示的。研究傅里叶级数的目的之一，就是要研究如何有效的把一个函数分解成正弦和余弦分量之和，以便接着可以实现各种滤波算法。

　　信号分析中另一个相关的问题是数据压缩。图1中的信号f(t)表示了一个电话线路中的信号。横轴代表时间，单位是毫秒，纵轴表示某人讲话时产生的声压值。假如设该型号被数字化后通过海事卫星从美国传输到欧洲。一个直观而简单的方法是每1毫秒左右取样一次该信号，然后横跨大西洋把得到的这些数据从美国传输到欧洲。然而，对于这个样一小段的谈话就需要每秒几千比特的数据传输率。因为两洲走之间的电话交谈是在太多了，电话公司就要在不明显损伤原信号的基础上，尽可能地压缩信号。一个有效的方法是，把该信号表示成它的傅里叶级数，然后在某个给定的错误容限下，把小于相应阈值的系数an和bn舍弃掉。仅仅那些大于阈值的系数需要传送到大西洋彼岸，然后在那里重构。对于大多数信号，其傅里叶级数中显著系数的数目相对较少。

 

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　　但是，傅里叶级数的一个缺点是，它的构造块是无始无终的周期性正弦波和余弦波。该方法适合滤除或压缩那些具有近似周期性的波动信号，如图1，而对那些有显著局部特性的信号，就无能为力。这不是本文讨论的内容，在此不在细述。

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Reference：

Albert Boggess,Francis J.Narcowich.A First Coourse in Wavelets with Fourier Analysis,2nd ed.,Prentice hall