《人工智能的数学基础》第二章习题（群部分）【未完成】

本文为《人工智能的数学基础》第二章习题中关于群的习题解答。

中文版（由 DataWhale 提供）：人工智能的数学基础

英文版：Mathematics for Machine Learning | Companion webpage to the book “Mathematics for Machine Learning”. Copyright 2020 by Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, and Cheng Soon Ong. Published by Cambridge University Press.

2.1

2.1.a

要证明 (\(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), \(\star\)) 是一个 Abel 群，需要满足以下条件：（其中1-4点为群的条件，第5点为Abel群的条件）:

1. 封闭性： \(\forall a, b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)；
2. 结合律: \(\forall a, b, c \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \((a \star b) \star c = a \star (b \star c)\)；
3. 单位元：\(\exists e \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(\forall a \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star e = e \star a = a\)；
4. 逆元：\(\forall a \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(\exists b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star b = b \star a = e\)；
5. 可交换律：\(\forall a, b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star b = b \star a\)；

封闭性

考虑问题的反面。
假设 \(a, b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\), 且 \(a \star b = -1\)， 则有：

\[a \star b = ab + a + b = -1 \\ ab + a + b + 1 = 0 \\ (a+1)(b+1) = 0 \]

这时我们有，\(a=-1\) 或 \(b=-1\)，这与\(a, b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\) 矛盾，因此 \(a \star b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)，封闭性得证。

结合律

\[(a \star b) \star c \\ = (ab+a +b)\star c\\ =(ab+a+b)c + ab +a +b +c\\ =abc + ac +bc +ab +a +b +c\\ =a (bc+c+b)+ a +bc +b + c\\ =a\star (b\star c) \]

结合律得证。

可交换律

为了下面的证明方便，我们先证明交换律。

\[(a \star b) = ab + a + b = ba + b + a = (b \star a) \]

交换律得证。

单位元

\(\exists e \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(\forall a \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star e = e \star a = a\)；
前面已经证明交换律，因此我们只要证明求使得 \(a \star e = a\) 成立的 \(e\) 即可。
我们有：

\[a \star e = ae + a + e = a \\ ae + e = 0\\ e (a+1) = 0 \]

因为 \(a \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\), 所以 \(a \not = -1\)。所以我们得到 \(e = 0\) 为单位元。

逆元

上面我们已经得到 \(e = 0\) 为单位元，且已经证明交换律。
那么我们只要证明 \(\forall a \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(\exists b \in (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\)： \(a \star b = e\) = 0；

我们有：

\[a \star b = ab +a + b = 0 \\ b = -\frac{a}{1+a} \]

若不存在这样的 \(b\), 则 \(b = -1\)。这时我们有：

\[-\frac{a}{1+a} = -1 \\ a = 1 + a \\ 0 = 1 \]

这是不可能的，因此 \(b \not = -1\)。逆元存在性得证。

综上，我们证明了 (\(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), \(\star\)) 是一个 Abel 群。

2.1.b

\[3 \star x \star x = 15 \\ 3 \star (x \star x) = 15\\ 3 \star (x^2 + 2x) = 15 \\ 3 * (x^2 + 2x) + 3 + (x^2 + 2x) = 15 \\ 4x^2+ 8x - 12 = 0 \\ x ^2 + 2x - 3 = 0 \\ (x-1)(x+3) = 0 \\ x = 1, -3 \]

两根均不等于 -1，则两根均在群内，因此方程的解为 \(x = 1\)或 \(x= -3\)。

2.2

2.2.a

同上一题，要证明 \((\mathbb{Z}_n, \oplus)\)是一个群，只要证明封闭性，结合律，单位元，逆元四个条件即可。若其还满足交换律，则 \((\mathbb{Z}, \oplus)\) 是一个 Abel 群。下面我们一一证明。

交换律

注意到 \(\overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{a + b} = \overline{b + a} = \overline{b \oplus a}\)， 因此交换律得证。

封闭性

根据定义，我们由\(\overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{a+b}\)，因为 \(a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}\)，所以 \(\overline{a+b} \in \mathbb{Z}\)，因此 \(\overline{a+b}\) 可以用同余类表示，即 \(\overline{a+b} \in (\mathbb{Z}_n)\)，因此封闭性得证。

结合律

\[(\overline{a} \oplus \overline{b}) \oplus \overline{c} = \overline{\overline{a+b}+c} \\ = \overline{a+b+c}\\ = \overline{a+ (b+c)}\\ = \overline {a + \overline{b+c}}\\ = \overline {a} \oplus (\overline{b+c})\\ = \overline{a} \oplus(\overline{b}\oplus\overline{c}) \]

单位元

前面已经证明交换律，因此我们只要证明求使得 \(\overline{a} \oplus \overline{e} = \overline{a}\) 成立的 \(\overline{e}\) 即可。
我们有：

\[\overline{a} \oplus \overline{e} = \overline{a + e} = \overline{a} \]

注意到当 \(\overline{e} = \overline{0}\) 时，上式成立，所以存在单位元 \(\overline{e} = \overline{0}\)。

逆元

当 \(\overline{b} = \overline{n-a}\) 时，我们有

\[\overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{a+ b} = \overline{a+\overline{n-a}} =\overline{a+n-a} = \overline{n} = \overline{0} \]

因此，逆元存在。

综上，我们证明了 (\(\mathbb{Z}_n, \oplus\)) 是一个 Abel 群。

未完待续。