BZOJ1009 矩阵快速幂+DP+KMP

Problem 1009. -- [HNOI2008]GT考试

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

81

 

 

 

 

先给出递推关系式 dp[i][j]=a0*dp[i-1][0]+a1*dp[i-1][1]+a2*dp[i-1][2]+a3*dp[i-1][3]+.......an*dp[i-1][m-1];

 最终有ans=dp[n][0]+dp[n][1]+dp[n][2]+....dp[n][m-1];

dp[i][j]的意思是前i个数组元素的后缀有j个和所要匹配的字符串相同。

首先说明这个递推关系式是正确的：将所有合法的号码按   字符串的尾缀与不合法字符串的前缀  相同元素的个数分类，满足不重不漏关系，所以DP是对的。

然后关系式为线性关系，所以可以用矩阵快速幂来计算。

剩下的问题就是如何求得a0,a1,a2....an（系数矩阵）。

进行一遍for循环范围为i=0----m-1，可以知道i只能对i+1之前的元素产生影响,然后再进行填数字。再由KMP进行确定系数。

 

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,mod;
int next[25],num[25];
void get(){
    int i=0,j=-1;
    next[0]=-1;
    while(i<m){
        if(j==-1||num[i]==num[j]) next[++i]=++j;
        else j=next[j];
    }
}
struct node{
   int mx[25][25];
   node(){memset(mx,0,sizeof(mx));}
}a;
node mult(const node &a,const node &b){
   node c;
   for(int i=0;i<m;++i)
    for(int j=0;j<m;++j)
    for(int k=0;k<m;++k)
    c.mx[i][j]=(c.mx[i][j]+a.mx[i][k]*b.mx[k][j])%mod;
   return c;
}
node ksm(node a,int k){
    node r;
    for(int i=0;i<m;++i)
        r.mx[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) {r=mult(r,a);k|=1;}
        k>>=1;
        a=mult(a,a);
    }
    return r;
}
int main(){
   scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
   getchar();
   for(int i=0;i<m;++i) num[i]=getchar()-'0';
   get();
   for(int i=0;i<m;++i)  //进行第i个元素填充
   for(int j=0;j<=9;++j){ //若第i个元素为j
    int tmp=i;              //这里首先假设后缀满足了i个，然后对i个位置（数组元素从0开始，所以比较的时候还是num[tmp]而不是num[tmp+1]）填充j
    while(tmp!=-1&&j!=num[tmp]) tmp=next[tmp];  //若是不相同，就向前找。
    if(tmp==-1) ++a.mx[i][0];   //如果未找到匹配的位置，则dp[i+1][0]的系数a[i][0]要加1
    else ++a.mx[i][tmp+1];  //可以转移到tmp+1的位置（若开始就匹配，就表示可以转移到他的下一个位置，系数加1）
   }//系数矩阵显然是个方阵，第i行第j列表示前一个后缀满足i个转移到后一个后缀满足j个的系数（从而也可以知道系数矩阵第一行起初就是dp[1][0],dp[1][1]...dp[1][m]）
   a=ksm(a,n);
   int ans=0;
   for(int i=0;i<m;++i)
    ans=(ans+a.mx[0][i])%mod;
   printf("%d\n",ans);
}