BZOJ1061网络流

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题目链接：http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1061

题意：申奥成功后，布布经过不懈努力，终于 成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最 优的招募方案。

思路：

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i],每个志愿者的费用为V[i],第j天雇佣的人数为P[j],则每天的雇佣人数应满足一个不等式,如上表所述,可以列出

P[1]=X[1]+X[2]>=4

P[2]=X[1]+X[3]>=2

P[3]=X[3]+X[4]+X[5]>=5

P[4]=X[5]>=3

对于第i个不等式,添加辅助变量Y[i](Y[i]>=0),可以使其变为等式

P[1]=X[1]+X[2]-Y[1]=4

P[2]=X[1]+X[3]-Y[2]=2

P[3]=X[3]+X[4]+X[5]-Y[3]=5

P[4]=X[5]-Y[4]=3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0,每次用下边的式子减去上边的式子,得出

① P[1]-P[0]=X[1]+X[2]-Y[1]=4

② P[2]-P[1]=X[3]-X[2]-Y[2]+Y[1]=-2

③ P[3]-P[2]=X[4]+X[5]-X[1]-Y[3]+Y[2]=3

④ P[4]-P[3]=-X[3]-X[4]+Y[3]-Y[4]=-2

⑤ P[5]-P[4]=-X[5]+Y[4]=-3

观察发现,每个变量都在两个式子中出现了,而且一次为正,一次为负.所有等式右边和为0.我们将最后的五个等式进一步变形,得出以下结果

① -X[1]-X[2]+Y[1]+4=0

② -X[3]+X[2]+Y[2]-Y[1]-2=0

③ -X[4]-X[5]+X[1]+Y[3]-Y[2]+3=0

④ X[3]+X[4]-Y[3]+Y[4]-2=0

⑤ X[5]-Y[4]-3=0

可 以发现,每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减,右边都为0,恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的 流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加 汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求费用最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

接下来，根据上面五个等式构图。

（1）每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

（2）如果一个等式中的数字为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果为负整数-c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

（3）如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为-X[i]，在第k个等式中出现为+X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为INF，权值为V[i]的有向边。

（4）如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为-Y[i]，在第k个等式中出现为+Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为INF，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1008;
struct node{
   int cost,flow,v,u,next;
};
node edges[N*1000];
int head[N],e,s,t;
int pre[N];
void add(int u,int v,int flow,int cost){
   edges[e].u=u;
   edges[e].v=v;
   edges[e].cost=cost;
   edges[e].flow=flow;
   edges[e].next=head[u];
   head[u]=e++;
}
void Add(int u,int v,int flow,int cost){
   add(u,v,flow,cost);
   add(v,u,0,-cost);
}
int SPFA(int s,int t){
   memset(pre,-1,sizeof(pre));
   int F[N],h[N],C[N],u,v,f,c;
   queue<int>Q;
   for(int i=1;i<=t+1;++i) C[i]=INF,h[i]=0,F[i]=0;
   Q.push(s);C[s]=0;F[s]=INF;
   while(!Q.empty()){
    u=Q.front();
    Q.pop();
    h[u]=0;
    for(int i=head[u];i+1;i=edges[i].next){
        v=edges[i].v;
        f=edges[i].flow;
        c=edges[i].cost;
        if(f>0&&C[v]>C[u]+c){
            C[v]=C[u]+c;
            F[v]=min(F[u],f);
            pre[v]=i;
            if(!h[v]) h[v]=1,Q.push(v);
        }
    }
   }
   return F[t];
}
int MCMF(int s,int t){
   int ans=0,temp;
   while(temp=SPFA(s,t)) {
    for(int i=pre[t];i+1;i=pre[edges[i].u]){
        ans+=temp*edges[i].cost;
        edges[i].flow-=temp;
        edges[i^1].flow+=temp;
    }
   }
   return ans;
}
int n,m,d[N];
int main(){
   scanf("%d%d",&n,&m);
   memset(head,-1,sizeof(head));
   e=s=0;
   t=n+2;
   int u,v,c,temp;
   for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&d[i]);
   for(int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
    Add(u,v+1,INF,c);
   }
   for(int i=1;i<=n+1;++i)
   {
       temp=d[i]-d[i-1];
       if(temp>=0) Add(s,i,temp,0);
       else Add(i,t,-temp,0);
       if(i>1) Add(i,i-1,INF,0);
   }
   printf("%d\n",MCMF(s,t));
}