【动态规划】一次搞定三种背包问题

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说明

看完前面四篇关于背包问题的文章，你会发现背包问题其实也不过如此，而且它们之间有很多相似的地方，本篇文章就来揭开它们面纱，将背包问题彻底搞定。

三种背包问题的比较

先来回顾一下三个背包问题的定义：

01背包：
有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

完全背包：
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用，第i件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

多重背包：
有N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品最多有Mi件可用，每件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

三种背包问题都有一个共同的限制，那就是背包容量，背包的容量是有限的，这便限制了物品的选择，而三种背包问题的共同目的，便是让背包中的物品价值最大。

不同的地方在于物品数量的限制，01背包问题中，每种物品只有一个，对于每种物品而言，便只有选和不选两个选择。完全背包问题中，每种物品有无限多个，所以可选的范围要大很多。在多重背包问题中，每种物品都有各自的数量限制。

三种背包问题虽然对于物品数量的限制不一样，但都可以转化为01背包问题来进行思考。在完全背包问题中，虽然每种物品都可以选择无限个，但由于背包容量有限，实际上每种物品可以选择的数量也是有限的，那么将每种物品都看做是 V/Ci 种只有一件的不同物品，不就成了01背包问题吗？对于多重背包也是如此，只是每种物品的膨胀数量变成了 min{Mi, V/Ci}。

所以说，01背包问题是所有背包问题的基础，弄懂了01背包问题后，完全背包和多重背包就没有什么难的地方了。

下面我们来对比一下三种背包问题的状态转移方程，以便更好的理解它们之间的联系：

01背包的状态转移方程：

F[i,v] = max{F[i-1,v], F[i-1,v-Ci] + Wi}

完全背包的状态转移方程：

F[i,v] = max{F[i-1,v-kCi] + kWi | 0 <= kCi <= v}

多重背包的状态转移方程：

F[i,v] = max{F[i-1,v-kCi] + kWi | 0 <= k <= Mi}

把这三个方程放到一起，便能很清晰的看到它们之间的关系了，三种背包问题都是基于子问题来选取价值最大的一个，只是选择的范围不一样。

01背包考虑的是选和不选，所有只需要比较两种策略的最大值即可，而完全背包和多重背包要考虑的是选几个的问题。

这样说也许还是不够形象，举个栗子就能比较好的说明了：

假设背包容量为10，有两个物品可选，价值分别为：3，2，容量占用分别为，4，3。

初始状态：

01背包的填表法：

完全背包的填表法：

多重背包的填表法：

假设两种物品的可选数量分别为：2，1.

下面再来看看三种背包问题的一维数组解决方案。

01背包：

for i <- 1 to N
    for v <- V to Ci
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}

将其核心部分抽象出来：

def ZeroOneKnapsack(F,C,W)
    for v <- V to C
        F[v] = max{F[v],F[v-C] + W}

则01背包问题可以表示为：

for i <- 1 to N
    ZeroOneKnapsack(F,Ci,Wi)

N代表物品数量，Ci代表第i个物品占用的容量，V代表背包总容量，Wi代表第i个物品的价值，下同。

完全背包：

for i <- 1 to N
    for v <- Ci to V
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}

将其核心部分抽象出来：

def CompleteKnapsack(F,C,W)
    for v <- C to V
        F[v] = max{F[v],F[v-C] + W}

则完全背包问题的解可以表示为：

for i <- 1 to N
    CompleteKnapsack(F,Ci,Wi)

多重背包：

for i <- 1 to N
    if v < Ci * Mi
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}
    else
        for v <- Ci to V
            k <- 1
            while k < M && v > Ci * k
                F[v] = max{F[v],F[v-Ci*k] + Wi*k}
                k++

抽象出核心逻辑：

def MultiKnapsack(F,C,W,M)
    if C * M >= V
        CompleteKnapsack(F,C,W)
        return
    else
        k <- 1
        while k < M
            ZeroOneKnapsack(F,KC,KW)
            k++
        return

则多重背包问题的解可以表示为：

for i <- 1 to N
    MultiKnapsack(F,Ci,Wi,Mi)

Mi 代表第i件物品最多可选数量

混合背包问题

现在我们来考虑一种更为复杂的情况，如果可选的物品同时具有上述三种特性，即：有的物品只能选一个，有的物品可以选择任意多个，有的物品只能选择有限多个，那么此时该如何决策呢？

其实有了上面的总结和抽象，这种混合背包问题就小菜一碟了。

回顾一下上面的三种背包问题的抽象解，就会发现他们每次都只会考虑一种物品，区别只在于第i个物品的可选策略。所以对于混合背包问题，同样也可以一个一个物品考虑，如果这个物品是最多选一个，那么就采用01背包的解决策略，如果是可以选择任意多个，那么就使用完全背包的解决策略，如果只能选择有限多个，那么就使用多重背包的解决策略。

伪代码如下：

for i <- 1 to N
    if 第i件物品属于01背包
        ZeroOneKnapsack(F,Ci,Wi)
    else if 第i件物品属于完全背包
        CompleteKnapsack(F,Ci,Wi)
    else if 第i件物品属于多重背包
        MultiKnapsack(F,Ci,Wi,Mi)