第一章 基础问题（课堂笔记）

一、调度问题

样例

给定 5 个任务，\(n=5,t_1=9,t_2=2,t_3=5,t_4=3,t_5=1\)，请设计一个调度方案，给出排列 \(i_1,i_2,\dots,i_n\)。

贪心策略求解的两种思路

1. 从 2 个任务的小规模情况开始研究，发现规律后推广至 \(n\) 个任务

• 先看前两个任务 \(t_1=9,t_2=2\)，共有 2 种排列：
  \(i_1=1,i_2=2\)，总等待时间为：\(9 + (9+2)=20\)
  \(i_1=2,i_2=1\)，总等待时间为：\(2+(2+9)=13\)

显然任务 2 应该排在前面。不难发现，第一个任务的执行时间会分配给后面每一个任务，必须是时间较短的任务才能是总和最小。
当推广到 \(n\) 个任务时，同理，对于任意两个任务 \(a,b\)，若 \(t_a<t_b\)，则必有 \(i_a<i_b\) 成立。

• 从而得出方案：将任务按时间从小到大排序即可得到最优排列。

2. 先有一个猜想，然后证明假设已经找到一个最优解，将这个最优解按照猜想进行调整后，得到的结果不会变差，即说明该猜想正确

• 先猜想出“可能按任务时间从小到大排序能得到最优解”

• 假设已有一个最优解，其中有两个任务 \(a,b\)，其中 \(t_a>t_b,i_a<i_b\)

• 交换这两个任务的位置，答案反而会变小，说明我们的猜想正确。

算法的正确性

通过该例子，了解了思考一个问题的两种普遍适用的思路，以及如何保证思路的正确性。

二、排序问题

1、选择排序

• 策略：
  共 \(n-1\) 轮操作，第 \(i\) 轮操作的任务，是从待排数据中选出最小值，与位置 \(i(1\le i\le n)\) 的数字进行位置交换。
  

2、冒泡排序

• 策略：将数列前面看成水面，后面看成水底，共 \(n-1\) 轮操作，第 \(i\) 轮操作的任务，是从水面开始，依次将相邻的2个数进行比较，“轻者上浮，浊者下沉”

3、插入排序

算法的效率