RMQ

RMQ（问题）

一. 提出问题

数列区间最大值

问题描述

输入一串数字，给你 \(M\) 个询问，每次询问就给你两个数字 \(X, Y\)，要求你说出 \(X\) 到 \(Y\) 这段区间内的最大数。

二. 思路

这一类问题有如下特点：

1. 求区间的最值问题（min/max）
2. 数列中的元素不变（静态）

对于满足以上两个条件的问题，我们可以考虑采用倍增的策略进行解决，该问题称为 \(RMQ(Range\; Max/Min\; Query)\) 问题，使用的数组是一种稀疏数组（\(ST\)表，\(Sparse\; Table\)），仅存入大小恰为 \(2^j\) 的区间最值。

令 f[i][j] 表示区间 \([i, i+2^j-1]\) 的最大值，其中 \(j\) 代表 \(2\) 的 \(j\) 次方，即区间所包含的元素个数。

• 当我们需要求出 \([1, 8]\) 的最大值时，直接输出 \(f[1][3]\) 即可。

• 当我们需要求出 \([3,9]\) 的最大值时，由于该区间包含 \(7\) 个数，不是 \(2\) 的整数幂，则需要将该区间拆成 \(2\) 个 \(2\) 的整数幂的集合，由它们各自的最大值再去求最大值，得出答案，即将 \([3,9]\) 拆成 \([3,6],[6,9]\) 两个长度为 \(2^2\) 的区间，答案即为 \(max(f[3][2], f[6][2])\)。

  注意：两个集合的交集部分，不会对求最值问题产生影响。

• 当需要求出 \([a,b]\) 的最大值时，令 \(j=\lfloor log_2^{b-a+1}\rfloor\)，答案为 \(max(f[a][j], f[b-(1<<j)+1][j])\)。

三. 如何求 f 数组

1. \(f[i][0] = a[i]\)
2. \(j>0,f[i][j]=max(f[i][j-1], f[i+(1<<j-1)][j-1]);\)

注意：在求的过程中，与区间DP相同，代表长度的 j 的循环必须在外层，i的循环在内层。

完整代码如下：

for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j)
    for (int i = 1; i+(1<<j)-1 <= n; ++i)
        f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i+(1<<j-1)][j-1];

该算法的时间复杂度为 \(O(n\ log\ n)\)。

四. 如何求 \(j=\lfloor log_2^{b-a+1}\rfloor\)

1. 可以直接调用函数 \(floor(log2(x))\)，稍微性能会低一些。

2. 自己建一个数组进行初始化，需要时直接调用数组值，速度更快。

   lg[1] = 0;
   for (int i = 2; i <= n; ++i)
       lg[i] = lg[i>>1] + 1;
   

五、难题

与众不同

问题描述

A 是某公司的 CEO，每个月都会有员工把公司的盈利数据送给 A，A 是个与众不同的怪人，A 不注重盈利还是亏本，而是喜欢研究「完美序列」：一段连续的序列满足序列中的数互不相同。

A 想知道区间 \([L,R]\) 之间最长的完美序列长度。

输入格式

第一行两个整数 \(N,M\)，\(N\) 表示连续 \(N\) 个月，编号为 \(0\) 到 \(N-1\)，\(M\) 表示询问的次数；

第二行 \(N\) 个整数，第 \(i\) 个数表示该公司第 \(i\) 个月的盈利值 \(a_i\)；

接下来 \(M\) 行每行两个整数 \(L,R\)，表示 A 询问的区间。

输出格式

输出 \(M\) 行，每行一个整数对应询问区间内的完美序列的最长长度。

思路分析

点击查看代码

• 引子

pre[i]表示以i为右端点，a[i]上一次出现的位置
则一段区间 \([x,y]\) 为完美区间，对应的 \([x,y]\) 中的每一个pre[i]均满足什么条件？
\(max\{pre[i]\} < x, x\le i\le y\)
int k = lower_bound(pre+x, pre+y+1, x) - pre;
k为 \([x,y]\) 中第一个pre[i]值大于等于x的i位置，但是注意pre[i]并不是单调的
所以我们需要将pre[i]进行一定的改造，使其满足单调性，最简单的方式就是将单点信息变为前缀信息

• 正解
  令last[a[i]]为a[i]上一次出现的位置
  令pre[i]为 \([1,i]\) 中last[j]的最大值，\(1\le j\le i\)
  pre[i] = max(pre[i-1], last[a[i]]);
int k = lower_bound(pre+x, pre+y+1, x) - pre;
  此时，可以确定 \([x,k-1]\) 一定是一个完美区间，\(ans = k - x;\)
  当 \(j\ge k\) 时，\([pre[j]+1, j]\) 为一个完美区间，ans = max(ans, j-pre[j]);
  令f[j][0] = j - pre[j]，p = lg[y-k+1]，则有ans = max{k-x, f[k][p], f[y-(1<<p)+1][p]);