区间最大和问题

区间最大和

描述

给你一个长度为 \(n\) 的数列，请求出其中一段连续的数之和，最大是多少？

样例输入

 8
 7 -4 2 5 -20 3 -9 2

样例输出

10

区间问题，通常涉及到区间的左右端点，我们只需枚举右端点即可。

思路1

利用前缀和的原理，\(s[i]\) 表示以 \(i\) 作为右端点的前缀和，那么，以 \(i\) 作为右端点，左端点是 \(k\) 的区间和就是 \(s[i]-s[k-1]\)，但是这里不知道 \(k\) 的值，我们就需要找到一个最小的前缀和，使得减去之后的差值最大，也就是 \(s[i]-min(s[j]\;|\;1\le j\lt i)\)。

令 \(mn = min(s[j]\;|\;1\le j\lt i)\)，则每一轮需要执行 mn = min(mn, s[i]) 来更新 \(mn\) 。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 7;
int s[N], mn;
int main() {
	int n, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d", s + i);
		s[i] += s[i-1];
		ans = max(ans, s[i] - mn);
		mn = min(mn, s[i]);
	}
	printf("%d", ans);
}

思路2

考虑前缀和的求法：\(s[i]=s[i-1]+a[i]\)，我们将 \(s[i]\) 的意义改为：以 \(i\) 为右端点的区间和的最大值。

可以得出，若 \(s[i-1]\gt 0\)，那么以 \(i\) 为右端点的最大区间和肯定不能包含 \(s[i-1]\) 的部分，否则可以。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 7;
int s[N], mn;
int main() {
	int n, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d", s + i);
		if (s[i-1] > 0)
			s[i] += s[i-1];
		ans = max(ans, s[i]);
	}
	printf("%d", ans);
}

对以上代码可以做一下优化如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 7;
int main() {
	int n, ans = 0, s = 0, last = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d",  &s);
		if (last > 0)
			s += last;
		last = s;
		ans = max(ans, s);
	}
	printf("%d", ans);
}

练习：最佳游览线路