求一个整数的约数个数

数学方法

例1. \(1000=2\times 2\times 2\times 5\times 5\times 5\)，从 \(6\) 个数中随便拿出若干个（\(0\sim 6\)），它们的乘积一定是 \(1000\) 的约数，问有多少种取法？这个答案即对应 \(1000\) 的约数个数。

解：使用乘法原理，将操作分为 \(2\) 步：

1. 选定一定数量的 \(2\)，个数可以是 \(0,1,2,3\)；选法有 \(4\) 种。
2. 选定一定数量的 \(5\)，个数可以是 \(0,1,2,3\)；选法有 \(4\) 种。

两步骤的方法数的乘积，即为答案：\(4\times 4=16\)。

例2. 求 \(28\) 的约数个数。

解：使用乘法原理，\(28=2^2\times 7\)：

1. 选定一定数量的 \(2\)，个数可以是 \(0,1,2\)；选法有 \(3\)​ 种。
2. 选定一定数量的 \(7\)，个数可以是 \(0,1\)；选法有 \(2\) 种。

两步骤的方法数的乘积，即为答案：\(3\times 2=6\)。

例3. 求 \(156\) 的约数个数。

解：\(156=2^2\times 3\times 13\)，约数个数为：\(3\times 2\times 2=12\)​。

代码

使用循环，依次找到 \(n\) 的每个质因数，求出该质因数有多少种选法，并将 \(n\) 中的这些质因数去掉，直到 \(n\) 为 \(1\)。

为了提高效率，我们在 \(i\ast i>n\) 时退出循环，如果此时 \(n>1\)，则 \(n\) 必为素数，否则在之前的 \(i\) 中应该已经被分解了。

for (int i = 2; i*i <= n; ++i) {
	if(n % i) continue;
	int ct = 1;
	while (n%i == 0) n /= i, ++ct;
	ans *= ct;
}
if (n > 1) ans <<= 1;