回溯算法

1、概念
回溯算法实际上一个相似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解。当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法。按选优条件向前搜索，以达到目标。

但当探索到某一步时。发现原先选择并不优或达不到目标。就退回一步又一次选择，这样的走不通就退回再走的技术为回溯法。而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

 很多复杂的，规模较大的问题都能够使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包括问题的全部解的解空间树中。依照深度优先搜索的策略。从根结点出发深度探索解空间树。

当探索到某一结点时，要先推断该结点是否包括问题的解，假设包括，就从该结点出发继续探索下去。假设该结点不包括问题的解。则逐层向其祖先结点回溯。

（事实上回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

   若用回溯法求问题的全部解时。要回溯到根，且根结点的全部可行的子树都要已被搜索遍才结束。

   而若使用回溯法求任一个解时，仅仅要搜索到问题的一个解就能够结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题。确定问题的解空间：

首先应明白定义问题的解空间。问题的解空间应至少包括问题的一个（最优）解。


（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4.. 解决组合问题的回溯算法框架

算法框架:
（1）问题动态属性：
IS-COMPLETE——推断问题的解是否合法。
PRINT-SOLUTION—— 打印一个合法解。
MAKE-ITERMS—— 生成当前节点的取值集合。

IS-PARTIAL—— 推断部分解。
（2）问题的静态属性
问题的解向量长度n
问题的解向量：x

则能够把用回溯算法解决的组合问题形式化描写叙述为：
输入：解向量长度n，解向量 x，产生解向量第k个分量取值集合iterms={iterm1,iterm2,…itermm}的过程MAKE-ITERMS,推断部分解的规则IS-PARTIAL,推断完整解的规则IS-COMPLETE,打印合法解的方法PRINT-SOLUTION的组合问题P.
输出：假设问题有合法解。输出全部合法解。否则输出无解信息。

对于以上组合问题P,能够用例如以下回溯算法来解决这个问题P:
引导与探索过程统一为：

BACKTRACK(P) //解决组合问题的回溯算法
1 flag←false
2 为解向量x分配存储空间
3 EXPLORE(P,1) 
4 if flag=false
5   then error "no solution"

当中第三行：explore的伪代码描写叙述例如以下：

EXPLORE(P, k)
1 if IS-COMPLETE(x)
2  then flag← ture
3           PRINT-SOLUTION(x)
4       return
5 if k>n
6  then return
7 iterms←MAKE-ITERMS(k)
8 m←length[iterms]
9 for i←1 to m  //对当前第k个分量逐一检測各种可能的取值
10  do x[k]← iterms[i]
11     if IS-PARTIAL(x, k)  //得到部分解
12       then EXPLORE(P, k+1) 

5 算法时间复杂度分析：

设解向量的分量取值集合iterms有m个元素，解向量的维数为n。则解空间可组合为高度为n的m叉全然树，则执行时间复杂度为：n∗mn.

6.. 各种经典的回溯问题算法框架

6.1 m着色问题

6.11 问题描写叙述

假定图G的顶点集合为V={1, 2, …, n}。则m-着色问题形式化为：
输入：图G=<V,E>。
输出：若G存在各顶点的合法着色方案，输出全部解向量c=<c1,c2,…,cn>，当中1<=ci<=m为G的第i个顶点的着色，且对V(i, j)∈E，ci ≠ cj。否则输出无解信息。
通俗理解：给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色。每一个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。求有多少种方法为图可m着色。
6.12 算法伪代码：

IS-COMPLETE(x, k)
1 if k>n 在k>n的前提下，<x1, x2, …, xn>必是完整解
2    then return    true 
3   else return false

PRINT-SOLUTION(x, k)
1 for i←1 to k
2   do print x[i]

MAKE-ITERMS(k)
1 for i←1 to m
2   do iterms[i] ←i
3 return iterms

IS-PARTIAL(x, k) 推断c[1...k]是否构成部分解
1 for i←1 to k-1
2   do if A[i, k]0 and x[i]=x[k] 若i，k相邻且着色同样
3       then return false
4 return true

6.2
參考：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html