算法导论-堆排序习题解

6.1-7 证明：当数组表示存储了n个元素的堆时，叶子节点的下标是n/2+1, n/2+1, ……，n

　　解：最后一个叶子节点n，其父节点是n/2,在n/2后所有节点都是叶子节点，否则其子节点必大于n。

6.5-8 请给出一个时间为O(nlgk)、用来将k个已排序链表合并为一个排序链表的算法。此处n为所有输入链表中元素的个数。(提示：用一个最小堆来作k路合并)

　　解：1. 建立一个k个元素的最小堆，堆中每个元素为一个链表，元素的key为链表中第一个元素的key。

　　       2. 不断删除根节点元素，加入到新链表，然后用根节点所指的链表中的第二个元素代替第一个元素，执行min_heapify操作。

              3. 当最小堆为空时，得到新的排序链表。

6-3 Young 氏矩阵

　　解：a) 略

　　　　b) Y[1,1] 是最小元素，若为空，则Y为空。Y[m,n]是最大元素，如不为空，则Y满。

　　       c) 若Y[1,2] >= Y[2,1]，用Y[2,1]代替Y[1,1]；若Y[1,2] < Y[2,1]，用Y[1,2]代替Y[1,1]。依照这种方法递归解决(m-1)*n 或 m*(n-1)问题。每次可以排除一行或一列元素。 递归式：T(p) = 1 + T(p-1)。

　　       d) 将新元素加到最后一个非空元素的后一个位置，比较左边和上边元素的大小。然后交换最大元素和新元素。递归这个过程即可。

　　　　e) 利用c)中方法获得一个最小元素时间为O(n)，n² 个元素总时间为O(n³)。

　　       f)  将给定数与矩阵左下角元素(该元素为它所在列的最大值，所在行的最小值)相比，每次可以排除一行或一列。时间复杂度为O(m+n)。