不定积分

不定积分的概念与性质

原函数

为了在已知函数的导数/微分时，求该函数所引入的概念

概念

函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，其在\(I\)上的原函数\(F(x)\)，使得\(\forall x\in I\)，都有\(F'(x)=f(x)\)

函数在不同区间可能有不同原函数

性质

1. 对同一函数\(f(x)\)的任意两个原函数\(F(x)\)，\(G(x)\)，有：\(F(x)=G(x)+C\)

2. 若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，则\(f(x)\)在区间\(I\)上一定存在原函数

不定积分

概念

函数\(f(x)\)的带有任意常数\(C\)的原函数一般形式\(F(x)+C\)被称为\(f(x)\)的不定积分，记为：

\[\int{f(x)\Bbb{d}x}=F(x)+C \]

积分的Latex公式语法\int_{积分下限}^{积分上限}{被积表达式}，
注意被积表达式（\(f(x)\Bbb{d}x\)）并不等同于被积函数（\(f(x)\)）

性质

1.互逆性：求微分（求导）和求积分运算，\(\frac{\Bbb{d}}{\Bbb{d}x}[\int{f(x)\Bbb{d}x}]=f(x)\)，\(\int{F'(x)\Bbb{d}x}=F(x)+C\)

2.常数因子：\(\int{kf(x)\Bbb{d}x=k\int{f(x)\Bbb{d}x}}\)

3.和差运算：\(\int{[f(x)\pm g(x)]\Bbb{d}x}=\int{f(x)\Bbb{d}x}\pm\int{g(x)\Bbb{d}x}\)，可以推广到有限多数个函数的加减

基本积分公式

即常见常用导数的逆向运用

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1. \(\int k\mathrm{d}x = kx + C\)

2. \(\int x^\mu \mathrm{d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)\)

3. \(\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C\)

4. \(\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \arctan x + C\)

5. \(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C\)

6. \(\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C\)

7. \(\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C\)

8. \(\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x} = \int \sec^2 x \mathrm{d}x = \tan x + C\)

9. \(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x \mathrm{d}x = -\cot x + C\)

10. \(\int \sec x \tan x \mathrm{d}x = \sec x + C\)

11. \(\int \csc x \cot x \mathrm{d}x = -\csc x + C\)

12. \(\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C\)

13. \(\int a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0且a\neq 1)\)

14. \(\int \mathrm{sh}\,x \mathrm{d}x = \mathrm{ch}\,x + C\)

15. \(\int \mathrm{ch}\,x \mathrm{d}x = \mathrm{sh}\,x + C\)

求不定积分

1. 根据定义求不定积分

e.g.求\(\int{x^4\Bbb{d}x}\)
因为\(x^4=(\frac{x^5}{5})'\)，所以\(x^4\)的一个原函数是\(\frac{x^5}{5}\)，则：

\[\int{x^4\Bbb{d}x}=\frac{x^5}{5}+C \]

2. 利用积分公式直接得出

e.g.略，见15个基本积分公式

3. 利用导数性质求不定积分

e.g.求\(\int{[x^4+x^3]\Bbb{d}x}\)
根据不定积分的和差运算性质，原式\(=\int{x^4\Bbb{d}x}+\int{x^3\Bbb{d}x}=\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+C\)
更复杂的不定积分也可以类似地简化，关键在于将复合函数拆解成多个基本积分公式的和差