微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

罗尔定理

设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则：

\[\exist x\in(a,b),\ f'(x)=0 \]

Fermat引理：\(f(x)\)在\(x_0\)处取极值且可导\(\Rightarrow f'(x_0)=0\)
\(f'(x)=0\)的根称为驻点

拉格朗日中值定理

设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，则：

\[\exist x\in(a,b),\ f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例

柯西中值定理

设\(f(x),g(x)\)均在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导（且\(g'(x)\not=0\)），则：

\[\exist x\in (a,b),\ \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

取\(g(x)=x\)则可得拉格朗日中值定理

洛必达法则

洛必达法则

若函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足以下条件：

1. 当 \(x \to a\)（或 \(x \to \infty\)）时，\(\lim f(x) = 0\) 且 \(\lim g(x) = 0\)（即 \(\frac{0}{0}\) 型），或者 \(\lim f(x) = \infty\) 且 \(\lim g(x) = \infty\)（即 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型）；
2. 在点 \(a\) 的某去心邻域内（或 \(|x|\) 充分大时），\(f'(x)\) 和 \(g'(x)\) 存在且 \(g'(x) \neq 0\)；
3. \(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（或为无穷大）；

则有：

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

\(\frac{0}{0}\) 型示例：
求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)
1：当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \to 0, x \to 0\)，符合 \(\frac{0}{0}\) 型
2：分子 \((\sin x)' = \cos x\)，分母 \((x)' = 1\)
3：原式 \(= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1\)

\(\frac{\infty}{\infty}\) 型示例：
求 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}\)
1：当 \(x \to +\infty\) 时，\(\ln x \to +\infty, x \to +\infty\)，符合 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型
2：分子 \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)，分母 \((x)' = 1\)
3：原式 \(= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0\)

其他类型的未定式

对于 \(\infty - \infty\)、\(0 \cdot \infty\)、\(1^\infty\)、\(0^0\)、\(\infty^0\) 等非标准未定式，需先通过代数变形将其转化为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，再使用洛必达法则。

1. \(0 \cdot \infty\) 型：通过倒数变换转化为分式。

   例：求 \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x\)。
   变形为 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型：\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}\)。
   使用洛必达法则：\(= \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\)。

2. \(\infty - \infty\) 型：通常通过通分或有理化转化为分式。

   例：求 \(\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})\)。
   通分变形为 \(\frac{0}{0}\) 型：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x}\)。
   使用洛必达法则（配合等价无穷小 \(\sin x \sim x\)）：\(= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。

3. 幂指函数型 (\(1^\infty, 0^0, \infty^0\))：利用恒等式 \(u^v = e^{v \ln u}\) 取对数，将指数问题转化为乘积问题 (\(0 \cdot \infty\))。

   例 (\(1^\infty\))：求 \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\)。
   令 \(y = (1+x)^{\frac{1}{x}}\)，则 \(\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
   求 \(\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\) （\(\frac{0}{0}\) 型）。
   洛必达法则：\(= \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1\)。
   故原极限 \(= e^1 = e\)。

数列极限

洛必达法则适用于连续变量 \(x\) 的函数极限。对于离散变量 \(n\) 的数列极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}\)，不能直接对 \(n\) 求导，要将数列中的离散变量 \(n\) 替换为连续变量 \(x\)，构造函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)
只需对构造出的函数使用洛必达法则求出 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)，则根据海涅定理，对应的数列极限存在且相等，即 \(\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = A\)

例：求数列极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln n}\)。
考虑函数极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln x}\)。
这是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，使用洛必达法则：\(= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty\)。
因此，原数列极限也为 \(+\infty\)。

注意事项

先验证极限是否为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，然后对分子分母分别求导，最后计算新分式的极限。若求导后仍为未定式，可以继续使用洛必达法则

求导时是对分子、分母分别求导，而不是对整个分式求导（即不使用商的求导法则）

如果 \(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 不存在（且不是无穷大），不能断定原极限不存在

求导过程中结合等价无穷小替换、提取非零极限因子等方法，可以更好地简化求解

泰勒公式与函数的高阶多项式逼近

泰勒公式

应用

函数的单调性与凸性

定义

函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，对\([a,b]\)上任意不同的两点\(x_1\)和\(x_2\)，都有：

\[f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \]

那么\(f\)在\([a,b]\)上为上凸函数，将式中\(>\)换为\(<\)成立，则为下凸函数

曲线上凸性发生变化的分界点\((x_0,f(x_0))\)称为曲线的拐点

判别法

导数与单调性

对所有\(x\in(a,b)\)有\(f'(x)>0\)（\(<0\)），则\(f\)在\([a,b]\)单调递增（减）
对所有\(x\in(a,b)\)，\(f'(x)\geq 0\)（\(\leq 0\)）\(\Leftrightarrow f\)在\([a,b]\)单调不减（不增）

导数与凸性

\(f\)在\([a,b]\)上连续且在\((a,b)\)内有二阶导数，则如果对于一切\(x\in(a,b)\)：
\(f''(x)>0 \Rightarrow f\)在\([a,b]\)是下凸函数；
\(f''(x)<0 \Rightarrow f\)在\([a,b]\)是上凸函数

应用

单调性相关

1.导数求函数单调区间：确定定义域\(\to\)求导，划分区间（找\(f'(x)=0\)和不可导的点）\(\to\)分析各区间上单调性（判别\(f'(x)\)的正负）

例：讨论\(f(x)=(2x-5)x^{\frac{2}{3}}\)的单调性

1. 确定定义域：\(f(x)\)定义域为\(\Bbb{R}\)
2. \(f'(x)=\frac{10(x-1)}{3x^{\frac{1}{3}}}\)，在\(x=0\)不可导，在\(x=1\)处为\(0\)，划分区间为\((-\infty,0)\)，\((0,1)\)，\((1,+\infty)\)
3. \(f'(x)\)在\((-\infty,0)>0\)，在\((0,1)<0\)，在\((1,+\infty)>0\)
4. \(f(x)\)在\((-\infty,0)\)和\((1,+\infty)\)单调递增，在\((0,1)\)单调递减

2.确定方程根的个数：考虑几何意义，在一个单调区间内，函数图形与直线\(y=y_0\)至多有一个交点；在每个单调区间上用零点定理检验即可确定方程根的个数

例：求方程 \(x^3 + x − 1 = 0\) 实根的个数

1. 令 \(f(x) = x^3 + x − 1\)，求导得 \(f'(x) = 3x^2 + 1\)
2. \(f'(x) = 3x^2 + 1 \geq 1 > 0\)，因此 \(f(x)\) 在 \((−\infty, +\infty)\) 上单调递增
3. \(f(0) = 0 + 0 − 1 = −1 < 0\) 且 \(f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0\)
4. \(f(x)\) 在 \((−\infty, +\infty)\) 上单调递增，方程至多有一个实数根
5. 因为 \(f(x)\) 在 \([0, 1]\) 上连续，且 \(f(0)·f(1) < 0\)，由零点定理可知，存在 \(\epsilon\in(0, 1)\)，使得 \(f(\epsilon) = 0\)，故原方程有且仅有一个实根

3.证明不等式：在单调区间上，函数值的大小关系与自变量大小关系相关

例：证明当 \(x>0\) 时，\(e^x>1+x\)

1. 令 \(f(x) = e^x−1−x\)，要证 \(e^x>1+x\)，即证 \(f(x) > 0\)（\(x > 0\)）
2. 求导 \(f'(x) = eˣ − 1\)
3. 当 \(x > 0\) 时，\(e^x > e^0 = 1\)，所以 \(f'(x) = e^x − 1 > 0\)
   因此 \(f(x)\) 在 \([0, +\infty)\) 上单调递增
4. \(f(0) = e^0 − 1 − 0 = 0\)
   对任意 \(x > 0\)，都有 \(f(x) > f(0) = 0\)
   即 \(e^x > 1 + x\)，得证

凸性相关

4.二阶导数判断凸性：见判别法，具体步骤与单调性判断类似

例： 讨论函数 \(f(x) = x^4 − 2x^2\) 的凸凹性。

1. 函数定义域为 \(\Bbb{R}\)。
2. 求导\(f'(x) = 4x^3 − 4x\)，\(f''(x) = 4(3x^2 − 1)\)
3. 令 \(f''(x) = 0\)，解得 \(x1 = \frac{\sqrt{3}}{3},x2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
   以\(x1,x2\)为分界点，将定义域分为三个区间：\((−\infty, −\frac{\sqrt{3}}{3})\)，\((−\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)，\((\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\)
4. \(f''(x)\) 在 \((−\infty, −\frac{\sqrt{3}}{3})\) 和 \((\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\)上\(>0\)，在 \((−\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\) 上\(<0\)。
5. \(f(x)\) 在 \((−\infty, −\frac{\sqrt{3}}{3})\) 和 \((\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)\) 上为下凸函数；\(f(x)\) 在 \((−\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\) 上为上凸函数

5.证明不等式：已知凸性时，函数的图像与切线有一定的位置关系，进而可以推出函数值的大小关系

例：证明对任意 \(x\in(0,π)\)，有 \(\sin(x) < x\)

1. 设 \(f(x) = \sin(x)\)，其中 \(x \in [0, π]\)
2. 求导\(f'(x) = \cos(x)\)，\(f''(x) = −\sin(x)\)
3. 当 \(x \in (0, π)\) ，\(f''(x) < 0\)，因此 \(f(x)\) 在 \([0, π]\) 上是上凸函数
   凸函数的图像位于其任意切线的下方，考虑 \(f(x) = \sin(x)\) 在 \(x = 0\) 处的切线：
   \(y = f(0) + f'(0)\cdot x = x\)
4. 因为 \(f(x)\) 在 \((0, π)\) 上图像位于切线 \(y = x\) 的下方
   所以对任意 \(x \in (0, π)\)，有 \(\sin(x) < x\)

6.求函数拐点：求二阶导（找\(f''(x)=0\)和不可二阶导的点）\(\to\)检查在这些点上\(f''(x)\)是否发生变号

也可以抽象地理解为求\(f'(x)\)的极值点，借助三阶导检验（\(f''(x)=0\and f'''(x)\not=0\)）
例：求曲线 \(f(x) = x \cdot e^x\) 的拐点

1. 求导：\(f''(x) = e^x(2 + x)\)，\(f'''(x) = e^x(3 + x)\)
2. 令\(f''(x) = 0\) ，有唯一解为 \(x = -2\)
3. 代入 \(x = -2\)：\(f'''(-2) = e^{-2}(3 + (-2)) = e^{-2} \cdot 1 = e^{-2} > 0 \neq 0\)
4. 因为 \(f''(-2) = 0\) 且 \(f'''(-2)\neq 0\)，所以\(f''(x)\) 在 \(x = -2\) 处必然变号
5. 故 \(x = -2\) 为曲线拐点