一元函数的导数与微分

导数的概念

可微\(\Leftrightarrow\)可导\(\Rightarrow\)连续

定义

设函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)内有定义，若：

\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

则称函数在\(x=x_0\)处可导，极限值为导数\(f'(x_0)\)

切线和法线相互垂直，且导数是切线的斜率

存在性

函数可导当且仅当左导数\(f'_-(x_0)\)和右导数\(f'^+(x_0)\)都存在且相等

若\(f'_-(x_0)\not=f'_+(x_0)\)称\(x_0\)为\(f(x)\)的角点

导数的计算

四则运算

设 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 均为可导函数，\(c\) 为常数，则：
加减：\([u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)\)
常数：\([c \cdot u(x)]' = c \cdot u'(x)\)
乘法：\([u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
除法：\(\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \quad (v(x) \neq 0)\)

反函数

若原函数 \(y = f(x)\) 在某区间内严格单调、可导，且 \(f'(x) \neq 0\)，则其反函数 \(x = f^{-1}(y)\) 在对应区间内也可导，且反函数的导数等于原函数导数的倒数：

\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{或} \quad [f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)} \]

复合函数

若 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，则复合函数 \(y = f(g(x))\) 的求导遵循链式法则（Chain Rule）：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

对于多层复合函数（如 \(y = f(g(h(x)))\)），链式法则可依次类推，即各层导数相乘

初等函数

基本初等函数求导公式

• 常数函数：\((C)' = 0\)
• 幂函数：\((x^n)' = n x^{n-1}\)
• 指数函数：\((a^x)' = a^x \ln a\)；特例：\((e^x)' = e^x\)
• 对数函数：\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)；特例：\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
• 三角函数：
  \((\sin x)' = \cos x\)
  \((\cos x)' = -\sin x\)
  \((\tan x)' = \sec^2 x\)
  \((\cot x)' = -\csc^2 x\)
  \((\sec x)' = \sec x \tan x\)
  \((\csc x)' = -\csc x \cot x\)
• 反三角函数：
  \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
  \((\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
  \((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\)
  \((\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}\)

高阶导数

定义

有些导函数仍然可导，对函数进行多次求导后得到高阶导数（二阶及以上）

几何意义:一阶导数是切线的斜率，二阶是斜率的变化率，三阶是斜率的变化率的变化率……阶数越高，刻画的变化也就越精细；
物理意义：位移相对于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度，三阶导数是急动度(加速度的的变化率)……

一般地，函数\(f\)的\(n-1\)阶导数的导数称为函数\(f\)的\(n\)阶导数，记为：\(f^{(n)}(x),y^{(n)},\frac{d^{n}y}{dx^{(n)}}\)

也称函数是\(n\)阶可导的

运算

1.基本运算：\([u\pm v]^{(n)} = u^{(n)}\pm v^{(n)}\)，\([Cu]^{(n)}=Cu^{(n)}\)

函数\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)在\(x\)处\(n\)阶可导，\(C\)为常数

2.莱布尼茨公式：

\[(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \]

3.常见公式：

\[(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)x^{(\alpha-n)},\\ (a^x)^{(n)} = a^x\ln^na, (e^x)^{(n)} = e^x,\\ (\sin x)^{(n)} = \sin(x+\frac{n\pi}{2}),\\ (\cos x)^{(n)} = \cos(x+\frac{n\pi}{2}),\\ (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n},\\ (\frac{1}{ax+b})^{(n)} = \frac{(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^{n+1}} \]

间接法即通过常见公式的四则运算等变化求\(n\)阶导数

4.分段函数的高阶导数：

特殊求导方法

隐函数求导

对方程 \(F(x,y)=0\) 两边同时对 \(x\) 求导，将 \(y\) 视为 \(x\) 的函数，解出 \(\frac{dy}{dx}\)。

对数求导法

适用于幂指函数 \(y = u(x)^{v(x)}\) 或复杂乘除开方函数。先两边取自然对数 \(\ln y = v(x)\ln u(x)\)，再隐函数求导得出 \(y'\)。

相关变化率

研究两个或多个随时间 \(t\) 变化的变量之间导数关系的问题。当已知其中一个变量的变化率，需要求另一个相关变量的变化率时，可通过以下步骤求解：

1. 建立关系式：根据几何、物理等实际背景，找出相关变量之间的等式关系；
2. 隐函数求导：等式两边同时对时间 \(t\) 求导，利用链式法则引入各变量的变化率（如 \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\)）；
3. 代入求解：将已知的变量值及变化率代入求导后的方程，解出未知的变化率。

参数方程求导

若函数 \(y\) 与 \(x\) 的关系由参数方程 \(\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\) 确定，且 \(\varphi(t)\) 可导且 \(\varphi'(t) \neq 0\)，则一阶导数公式为：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\varphi'(t)}{\varphi'(t)} \]

求二阶导数时，需将一阶导数视为参数 \(t\) 的函数，再次对 \(t\) 求导后除以 \(\frac{dx}{dt}\)，即：

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} \]

或者写成更直观的形式：

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3} \]

注意：千万不要直接对 \(\frac{y'(t)}{x'(t)}\) 关于 \(t\) 求导就完事了，最后一定要除以 \(x'(t)\)（即链式法则的应用）

函数的微分与线性逼近

微分

1. 概念：设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，当自变量 \(x\) 有增量 \(\Delta x\) 时，若函数的增量 \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)\) 可以表示为：

\[\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) \]

其中 \(A\) 是与 \(\Delta x\) 无关的常数，\(o(\Delta x)\) 是比 \(\Delta x\) 高阶的无穷小量，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处可微。并称 \(A \cdot \Delta x\) 为函数在该点相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(dy\)，即：

\[dy = A \cdot \Delta x \]

在一元函数中，可微与可导等价，且 \(A = f'(x)\)。通常规定自变量的微分 \(dx = \Delta x\)，因此函数的微分又可写为：

\[dy = f'(x)dx \]

微分 \(dy\) 也被称为函数增量 \(\Delta y\) 的线性主部。

2. 几何意义：微分 \(dy\) 在几何上表示曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((x, f(x))\) 处的切线纵坐标的增量

一阶线性逼近

一阶线性逼近的核心思想是利用函数在某点 \(a\) 处的切线来近似代替原曲线。

1. 逼近公式：
当 \(x\to x_0\) 时，函数的线性近似公式为：

\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

若令 \(\Delta x = x - x_0\)，则上述公式也可表示为函数值的近似变化量：

\[f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x \]

这等价于用微分代替增量：\(\Delta y \approx dy\)。

2. 常用工程近似公式：
当 \(|x|\) 充分小时（即取 \(x_0 = 0\)）有以下常用的线性近似公式：

• \((1 + x)^n \approx 1 + nx\)
• \(\sin x \approx x\) （\(x\) 为弧度）
• \(\tan x \approx x\) （\(x\) 为弧度）
• \(\ln(1 + x) \approx x\)
• \(e^x \approx 1 + x\)

3. 注意事项：
线性近似的精度取决于 \(x\) 与基点 \(a\) 的距离。\(x\) 越接近 \(a\)，切线与曲线贴合得越好，近似精度越高；若偏离基点过远，或基点处导数变化剧烈，线性近似可能会失效。