函数与极限
第一章的概念整理以及划重点
函数的概念及其初等性质
集合
1.表示方法：列举式，命题式
2.空集\(\emptyset\)，子集合\(\subset,\subseteq\)，幂集合（所有子集），集族（幂集合的子集）
3.按元素数量分类：有限集，无限集
4.集合间运算：并\(\cup\)，交\(\cap\)，差\(-\)，直积 \(\times\)
前三者有交换律，结合律，分配律，对偶律
对偶律：\(\complement_{I}(A\cup B)=\complement_{I}A\cap\complement_{I}B\)，反之类似
5.讨论限定范围时有：全集\(I\)，余集（补集）\(\complement_{I}{A}\)
6.邻域\(U(x_0, \delta)\)表示开区间\((x_0-\delta, x_0+\delta)\)，进一步地，有去心邻域\(\mathring{U}(x_0, \delta)\)
\mathring{}用于在字母上方添加圆点，表示去心
函数
1.常量，自变量\(x\)，因变量\(y\)，函数关系\(f\)，函数值\(y_0\)
\(y=f(x), f(x_0)=y_0\)
2.函数两要素：定义域（自然定义域，存在域）和对应法则\(f\)；值域
3.像\(y\)，原像\(x\)，映射\(f:A\to B\)（满射，单射，双射）
函数的图形是一个平面点集，类似地，在定义中\(f\subset A\times B\)，\(\forall x\in A\)，存在唯一的\(y\in B\)使得\((x,y)\in f\)
性质
有界性
有上界\(\and\)有下界\(\Leftrightarrow\)有界，否则无界
\(f(x) \leq M (\geq M), \forall x\in D\)
\(|f(x)| \leq M, \forall x\in D, M \geq 0\)
单调性
严格的
奇偶性
对称的
周期性
周期函数的定义域应为无限区间，一般求函数的最小正周期
初等函数
基本初等函数及其经过有限次四则运算或复合运算构成的函数，分为代数函数（有理函数&无理函数）和超越函数。
代数函数对自变量及常数进行有限的代数运算
六类基本初等函数如下：
1.常数函数 \(y = C\)
2.幂函数 \(y = x^\alpha\)
3.指数函数 \(y = a^x\)，有特殊的指数函数 \(y = e^x\)
4.对数函数 \(y = \log_{a}x\)，有特殊的对数函数 \(y = \ln{x}\)
应注意，指数函数和对数函数都有\(0<a<1\)或\(a>1\)，且两者互为反函数
5.三角函数和6.反三角函数
初等运算
四则运算
和，差，积，商
复合运算
\(y = (g\circ f)(x) = g(f(x))\)
外函数\(g\)，内函数\(f\)，令\(u=f(x)\)，称为中间变量
反函数运算
反函数\(f^{-1}\)存在\(\Leftrightarrow\)\(f\)在定义域上单调
由此可知偶函数没有反函数
\(f^{-1}\)与\(f\)的反函数关系相互且唯一，两者关于\(y=x\)对称，且具有相同的单调性和奇偶性
特殊形式的函数
1.绝对值函数 \(y=|x|\)
2.符号函数 \(y=\mathrm{sgn} x\)
3.取整函数 \(y=[x]\)
表示不超过\(x\)的最大整数，其图像为阶梯曲线
4.取最值函数 \(y=\max\{\dots\},y=\min\{\dots\}\)
5.狄利克雷函数
狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，是周期函数（一切有理数都是它的周期）
6.分段函数
上述的函数有的属于分段函数
数列极限
收敛数列
数列\(\{a_n\}\)，一般项（通项）\(a_n\)
数列是一种特殊的函数，可以界定类似的性质
定义收敛数列\(\{a_n\}\)收敛于极限\(a\)：
否则称数列是发散的
求极限时的思考顺序：即对于任意小的常数，总有一个足够大的\(N\)，使其后的通项足够接近\(a\)
性质
唯一性
收敛数列有唯一的极限
有界性
收敛数列一定有界，反之不然
收敛与子列
收敛数列的子列也收敛，且具有相同极限
常见例子如对\(a_n = (-1)^{n}\)取其奇偶子列，显然子列的极限分别为\(0\)和\(1\)，因此\({a_n}\)发散
四则运算
对两个收敛数列，可以对其极限进行四则运算
如\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n\)，其余三种运算同理
在运算时考虑将复杂的式子拆解成几个收敛数列通过四则运算组合的形式，进而得到易于计算的极限值
定理
或者说数列收敛的判别法
夹逼定理
设数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)，\(\{x_n\}\)满足条件
（\(\mathrm{i}\)）\(a_n\leq x_n\leq b_n\)
（\(\mathrm{ii}\)）\(\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}b_n=a\)
则\(\{x_n\}\)收敛，且\(\lim_{n\to\infty}x_n =a\)
通常需要对数列（或函数）进行放缩
单调有界定理
单调有界数列是收敛的
柯西收敛准则
实数集的完备性（连续性）
函数极限
收敛函数
1.单侧极限：\(\lim_{x\to+\infty}{f(x)}\)，\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)，\(\lim_{x\to-\infty}{f(x)}\)，\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)
\(x\to x_0^+\)指\(x\)从右侧（即区间\((x_0,x_0+\delta_1)\)）趋于\(x_0\)，\(x\to x_o^-\)反之
2.双侧极限：\(\lim_{x\to\infty}{f(x)}\)，\(\lim_{x\to x_0}{f(x)}\)
性质
两个重要极限：
\[\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}} = 1 \]\[\lim_{x\to +\infty}{(1+\frac{1}{x})^x} = \rm e \]
唯一性
收敛函数有唯一的极限
局部有界性
在接近极限的某个去心邻域内有界
局部保号性
在接近极限的某个去心邻域内与\(A\)同号
四则运算
类似收敛数列
不等式性质
\(f(x)\leq g(x)\)，\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\to x_0}g(x)=B\)，则\(A\leq B\)
讨论函数极限的关系时，通常先保证它们在同一去心邻域\(\mathring{U}(x_0,\delta_0)\)内有定义，后面夹逼定理同理
定理
海涅（Heine）定理
其中数列\(\{x_n\}\)应满足\(x_n\in \mathring{U}(x_0, \delta_1)\)，且\(x_n\to x_0 (n\to \infty)\)
常用于反证函数极限不存在。
\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)\)不存在，或\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)\not=\lim_{n\to\infty}f(x'_n)\)
夹逼定理
设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\)满足条件
（\(\mathrm{i}\)）\(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\)
（\(\mathrm{ii}\)）\(\lim_{n\to\infty}f(x) = \lim_{n\to\infty}g(x)=A\)
则\(\{x_n\}\)收敛，且\(\lim_{n\to\infty}h(x) = A\)
通常需要对函数进行放缩，或结合海涅定理使用
无穷小与无穷大
定义
无穷小
\(\lim_{x\to?}u=0\)，那么\(u\)是极限过程\(x\to?\)中的无穷小
无穷大
\(\forall M > 0\)，总\(\exist X>0\)满足\(|x|>X\Leftrightarrow|f(x)>M|\)，那么\(f(x)\)是极限过程\(x\to \infty\)中的无穷大
若定义域在去心邻域内，极限过程为\(x\to x_0\)
无穷大不应表述为\(\lim_{x\to ?}f(x) = \infty\)
性质
1.无穷小的运算：无穷小加减乘无穷小都是无穷小，乘以有界函数（包括常数）也是
2.无穷大的运算：无穷大加减无穷大不是无穷大，但乘法是；无穷大乘除常数还是无穷大。
3. 同一变化过程中，非零无穷小的倒数是无穷大，反之同理
阶的比较
1.同阶无穷小：\(\lim_{x\to?}\frac{\beta}{\alpha} = C \not=0\)，记为\(\beta=O(\alpha)\)
2.\(k\)阶无穷小：\(\lim_{x\to?}\frac{\beta}{\alpha^k} = C \not=0\)，记为\(\beta=O(\alpha^k)\)
3.高阶无穷小：\(\lim_{x\to?}\frac{\beta}{\alpha} = 0\)，记为\(\beta=o(\alpha^k)\)
4.等价无穷小：\(\lim_{x\to?}\frac{\beta}{\alpha^k} = 1\)，记为\(\beta\sim\alpha\)
常用的等价无穷小
$$ \begin{align} \sin x &\sim x \nonumber \\ \tan x &\sim x \nonumber \\ 1-\cos x &\sim \cfrac{1}{2} x^2 \nonumber \\ \ln (1+x) &\sim x \nonumber \\ \log_a (1+x) &\sim \cfrac{x}{\ln a} \nonumber \\ e^x - 1 &\sim x \nonumber \\ a^{x} - 1 &\sim x \ln a \nonumber \\ \sqrt[n]{1+x} - 1&\sim \cfrac{x}{n} \nonumber \\ \ln(x+\sqrt{1+x^2}) &\backsim x \nonumber \\ \arcsin x &\sim x \nonumber \\ \arctan x &\sim x \nonumber \\ x - \sin x &\sim \cfrac{1}{6} x^3 \nonumber \\ \tan x - x &\sim \cfrac{1}{3} x^3 \nonumber \\ (1 + x)^ \alpha - 1 &\sim \alpha x \nonumber \\ \arcsin x - x &\sim \cfrac{1}{6} x^3 \nonumber \\ x - \arctan x &\sim \cfrac{1}{3} x^3 \nonumber \\ \tan x - \sin x &\sim \cfrac{1}{2} x^3 \nonumber \end{align} $$定理
极限与无穷小
设\(\alpha\)在\(x\to x_0\)是无穷小，同一变化过程中：
等价无穷小
等价替换
若\(\alpha \sim \widetilde{\alpha},\beta \sim \widetilde{\beta}\)，并且\(\displaystyle \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}}\)有意义，那么\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}}\)
函数的连续性
连续与间断
连续点
有两种定义方式，较为常见的是\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)；或者利用改变量的概念：\(\lim_{\Delta{x}\to 0}{\Delta{y}=0}\)
有左连续和右连续的概念，且当两者均成立时函数在该点连续
间断点
若函数在\(x_0\)处不连续，\(\lim_{x\to x_0^-}f(x)\)和\(\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)都存在则为第一类间断点，否则为第二类
第一类间断点中，若\(\lim_{x\to x_0^-}f(x)\not=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)，则\(x_0\)为跳跃间断点
若两者相等（即极限存在）但不等于\(f(x_0)\)，或\(f(x)\)在\(x_0\)处无定义，则\(x_0\)为可去间断点
性质
1.反函数连续性：若\(f(x)\)在定义域上单调且连续，则反函数\(f^{-1}(x)\)也在定义域上单调且连续
2.复合函数连续性：\(u=\varphi(x)\)在\(x_0\)处连续，\(y=f(x)\)在\(u_0=\varphi(x_0)\)处连续，则复合函数\(y=f(\varphi(x))\)在\(x_0\)处连续
基本初等函数在定义域内连续，所以初等函数也在定义域内连续
3.最值定理：闭区间上的连续函数能取最大值与最小值，进而在闭区间上有界
4.介值定理：设\(f:[a,b]\to\Bbb{R}\)是连续函数，\(f(a)\not=f(b)\)，则取介于两者之间的常数\(C\)，一定有\(a<\epsilon<b\)，使\(f(\epsilon) = C\)
介值定理是零点定理的一般化推广
5.连通性定理：设\(f:[a,b]\to\Bbb{R}\)是连续函数，\(m\)，\(M\)是区间上的最小值与最大值，则\(f([a,b])=[m,M]\)
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