函数与极限

函数的概念及其初等性质

---

集合

1.表示方法：列举式，命题式

2.空集\(\emptyset\)，子集合\(\subset,\subseteq\)，幂集合（所有子集），集族（幂集合的子集）

3.按元素数量分类：有限集，无限集

4.集合间运算：并\(\cup\)，交\(\cap\)，差\(-\)，直积 \(\times\)

前三者有交换律，结合律，分配律，对偶律
对偶律：\(\complement_{I}(A\cup B)=\complement_{I}A\cap\complement_{I}B\)，反之类似

5.讨论限定范围时有：全集\(I\)，余集（补集）\(\complement_{I}{A}\)

6.邻域\(U(x_0, \delta)\)表示开区间\((x_0-\delta, x_0+\delta)\)，进一步地，有去心邻域\(\mathring{U}(x_0, \delta)\)

\mathring{}用于在字母上方添加圆点，表示去心

函数

1.常量，自变量\(x\)，因变量\(y\)，函数关系\(f\)，函数值\(y_0\)

\(y=f(x), f(x_0)=y_0\)

2.函数两要素：定义域（自然定义域，存在域）和对应法则\(f\)；值域

3.像\(y\)，原像\(x\)，映射\(f\)（满射，单射，双射）

函数的图形是一个平面点集，类似地，在定义中\(f\subset A\times B\)，\(\forall x\in A\)，存在唯一的\(y\in B\)使得\((x,y)\in f\)

性质

有界性

有上界\(\and\)有下界\(\Leftrightarrow\)有界，否则无界

\(f(x) \leq M (\geq M), \forall x\in D\)
\(|f(x)| \leq M, \forall x\in D, M \geq 0\)

单调性

严格的

奇偶性

对称的

周期性

周期函数的定义域应为无限区间，一般求函数的最小正周期

初等函数

基本初等函数及其经过有限次四则运算或复合运算构成的函数，分为代数函数（有理函数&无理函数）和超越函数。

代数函数对自变量及常数进行有限的代数运算

六类基本初等函数如下：

1.常数函数 \(y = C\)

2.幂函数 \(y = x^\alpha\)

3.指数函数 \(y = a^x\)，有特殊的指数函数 \(y = e^x\)

4.对数函数 \(y = \log_{a}x\)，有特殊的对数函数 \(y = \ln{x}\)

应注意，指数函数和对数函数都有\(0<a<1\)或\(a>1\)，且两者互为反函数

5.三角函数和6.反三角函数

更多详见专题三角函数和双曲函数

初等运算

四则运算

和，差，积，商

复合运算

\(y = (g\circ f)(x) = g(f(x))\)
外函数\(g\)，内函数\(f\)，令\(u=f(x)\)，称为中间变量

反函数运算

反函数\(f^{-1}\)存在\(\Leftrightarrow\)\(f\)在定义域上单调

由此可知偶函数没有反函数

\[f^{-1}(f(x)) = x, \forall x\in D \]

\(f^{-1}\)与\(f\)的反函数关系相互且唯一，两者关于\(y=x\)对称，且具有相同的单调性和奇偶性

特殊形式的函数

1.绝对值函数 \(y=|x|\)

2.符号函数 \(y=\mathrm{sgn} x\)

3.取整函数 \(y=[x]\)

表示不超过\(x\)的最大整数，其图像为阶梯曲线

4.取最值函数 \(y=\max\{\dots\},y=\min\{\dots\}\)

5.狄利克雷函数

\[D(x) = \begin{cases} 1, x是有理数, \\ 0, x是无理数. \end{cases} \]

狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，是周期函数（一切有理数都是它的周期）

6.分段函数

上述的函数有的属于分段函数

数列极限

---

收敛数列

数列\(\{a_n\}\)，一般项（通项）\(a_n\)

数列是一种特殊的函数，可以界定类似的性质

定义收敛数列\(\{a_n\}\)收敛于极限\(a\)：

\[\lim_{n\to+\infty}{a_n} = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N, \forall n > N, |a_n-a|<\epsilon \]

否则称数列是发散的

求极限时的思考顺序：即对于任意小的常数，总有一个足够大的\(N\)，使其后的通项足够接近\(a\)

性质

定理