【错题】高数上册

函数与极限

函数的概念及其初等性质

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习题1.1 B6

设\(\varphi(x)\)与\(f(x)\)互为反函数，求\(f(\frac{x}{2})\)的反函数。

解：\(g(x)=2\varphi(\frac{x}{2})\)
标准答案：\(y=2\varphi(x)\)

令\(y\)为\(f(\frac{x}{2})\)的反函数，由定义知\(x=y\)时，\(f(\frac{x}{2})=x\)，故\(\frac{y}{2} = \varphi(x)\)

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预习检测1.2

\[\lim_{n\to \infty}{\frac{2n^2+n+7}{5n^2+9}}=(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ) \]

标准答案：\(\frac{2}{5}\)

\(\lim_{n\to \infty}{\frac{2n^2+n+7}{5n^2+9}} = \lim_{n\to \infty}{\frac{2+n^{-1}+7n^{-2}}{5+9n^{-2}}}\)
显然当\(n\to \infty\)时，\(n^{-1}\to 0\)，\(n^{-2}\to 0\)，因此：
\(\lim_{n\to \infty}{\frac{2+n^{-1}+7n^{-2}}{5+9n^{-2}}} = \lim_{n\to \infty}{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}\)